Equação vetorial paramétrica da reta: Exercícios Resolvidos

POR Pedro Coelho

Publicado: quarta-feira, 13 de julho de 2022

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O conceito de reta foi introduzida pelos matemáticos da antiguidade para representar objetos retos sem curvatura, que possuem largura e profundidade desprezíveis.

Retrato do filósofo e matemático Euclides de Alexandria

O filosofo e matemático Euclides de Alexandria descreveu que por dois pontos distintos se passa uma e somente uma reta, sendo que essa reta apresenta infinitos pontos, logo para definir a equação vetorial paramétrica da reta dizemos que um desses pontos é x.

Assim podemos afirmar que os vetores x-A e B-A possuem a mesma direção, sendo que os mesmos são paralelos, logo um deles pode ser escrito em função do outro.

Sendo m um parâmetro, A um ponto da reta, e (B-A) o vetor diretor da reta.

Exemplos de exercícios resolvidos

1)Dada A= (2,5,3) e B = (3,7,1) dois pontos de uma reta r, determine :

a) equação vetorial paramétrica da reta

b) Qual é valor do vetor diretor da equação da reta

c)Determine as equações cartesianas dessa reta

d) Determine as equações reduzidas

Resolução

a)

$\overrightarrow{AB}=\left( B-A \right)=\left( 3,7,1 \right)-\left( 2,5,3 \right)=\left( 1,2,-2 \right)$

Sendo:

$x=A+m\left( B-A \right)$

Logo:

$x=\left( 2,5,3 \right)+m\left( 1,2,-2 \right)$

b)

$\overrightarrow{V}=\left( 1,2,-2 \right)$

c)

Tenho x= (2,5,3) + m(1,2,-2)

sei que x = (x,y,z)

então :

x = 2+m
y =5 +2m
z = 3-2m

d)

Tenho :

x = 2+m

y =5 +2m

z = 3-2m

Escolho uma delas e isolo m

x = 2+m → m = x-2

e substituo m nas outras equações

y =5 +2m → y = 5 + 2(x -2) →y= 2x+1
z = 3-2m → z= 3 - 2(x -2) → z=-2x +7

2) Determine as equações da reta que passa pelos pontos M=(4,3,0) e N= (5,1,2) e suas formas.

a) Vetorial paramétrica

b) Cartesiana paramétrica

c) Reduzidas

Resolução:

a)

$\overrightarrow{MN}=\left( N-M \right)=\left( 5,1,2 \right)-\left( 4,3,0 \right)=\left( 1,-2,2 \right)$

Sendo:

$x=M+m\left( N-M \right)$

Logo:

$x=\left( 4,3,0 \right)+m\left( 1,-2,2 \right)$

b)

Tenho x= (4,3,0) + m(1,-2,2)

sei que x = (x,y,z)

então :

x = 4+m
y =3 -2m
z = 2m

c)

Tenho :

x = 4+m

y =3 -2m

z = 2m

Escolho uma delas e isolo m

x = 4+m → m = x-4

e substituo m nas outras equações

y =3 -2m → y = 3 - 2(x -4) →y= -2x+11
z = 2m → z= 2(x -4) → z=2x -8

Referências

 

• Notas de Geometria Analítica e Álgebra linear, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
• Notas de aula de Geometria Analítica e Álgebra linear, Sergio R. Lara, Santos, São Paulo, 2010.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico com Pós Graduação em Engenharia de Segurança do Trabalho e também sou Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, eu estou estudando Engenharia Civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)