Funções e equações logarítmicas: Exercícios Resolvidos

POR Pedro Coelho

Publicado: segunda-feira, 30 de maio de 2022

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Os logaritmos são operações que são usadas para calcular o expoente em determinadas operações. As operações logarítmicas são utilizadas no cálculo de diversos fenômenos como a intensidade de um terremoto, intensidade de ondas sonoras, acidez de soluções, entre outros.

Assim, temos:

 Sendo:

• 𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒
• 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜
• 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜

Propriedades do logaritmos

${{\log }_{a}}\left( b.c \right)={{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c$

${{\log }_{a}}\left( \frac{b}{c} \right)={{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c$

${{\log }_{a}}{{b}^{n}}=n.{{\log }_{a}}b$

${{\log }_{{{a}^{m}}}}b=\frac{1}{m}.{{\log }_{a}}b$

${{\log }_{{{a}^{m}}}}{{b}^{n}}=\frac{n}{m}.{{\log }_{a}}b$

Mudança de base: ${{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{N}}b}{{{\log }_{N}}a}$, onde N ϵ R>0 e N≠1

Algumas consequências da definição de logaritmo e das propriedades:

Log_a1 = 0

Log_aa = 1

Observação:o logaritmo definido como natural utiliza como base o número de Euler, cujo o valor aproximado é 2,7182 e nesse caso sua representação será:

Log_e a = ln a

Já os logaritmos de base 10 são obtidos de forma tabelada e são ferramentas muito uteis na resolução de problemas envolvendo logaritmos. Logo, temos:

Exemplos de Exercícios

1) Calcule os logaritmos aplicando a definição:

$a){{\log }_{2}}\frac{1}{8}=x\Rightarrow {{2}^{x}}=\frac{1}{8}\Rightarrow {{2}^{x}}={{2}^{-3}}\Rightarrow x=-3$

$b){{\log }_{6}}36=x\Rightarrow {{6}^{x}}=36\Rightarrow {{6}^{x}}={{6}^{2}}\Rightarrow x=2$

$c)\log 10000=x\Rightarrow {{10}^{x}}=10000\Rightarrow {{10}^{x}}={{10}^{4}}\Rightarrow x=4$

Obs: nesse exercício a base é 10, pois quando não temos a base, a base é igual a 10.

$d){{\log }_{\frac{1}{4}}}2\sqrt{2}=x\Rightarrow 2\sqrt{2}={{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}\Rightarrow {{2}^{1}}{{.2}^{\frac{1}{2}}}={{\left( \frac{1}{{{2}^{2}}} \right)}^{x}}\Rightarrow {{2}^{\frac{3}{2}}}={{\left( {{2}^{-2}} \right)}^{x}}\Rightarrow $

$\frac{3}{2}=-2x\Rightarrow 3=-4x\Rightarrow x=-\frac{3}{4}$

2) Dados log2 = 0,301 e log3 = 0,477, determine:

$a)\log 6=\log \left( 2.3 \right)=\log 2+\log 3=0,301+0,477=0,778$

$b){{\log }_{12}}20=\frac{\log 20}{\log 12}=\frac{\log \left( 2.10 \right)}{\log \left( 2.2.3 \right)}=\frac{\log 2+\log 10}{\log 2+\log 2+\log 3}\Rightarrow $

$\Rightarrow \frac{0,301+1}{0,301+0,301+0,477}=1,207$

$c){{\log }_{\sqrt{5}}}0,2=x\Rightarrow 0,2={{\sqrt{5}}^{x}}\Rightarrow \frac{1}{5}={{5}^{\frac{1}{2}x}}\Rightarrow {{5}^{-1}}={{5}^{\frac{x}{2}}}$

X=-2

Equações logarítmicas

As equações logarítmicas são igualdades cujas incógnitas aparecem no logaritmando e/ou na base de um logaritmo. Nessas equações, após obtidos os valores das incógnitas, a condição de existência (C.E) dos logaritmos deve ser verificada para poder determina o conjunto-solução da equação.

Exemplos de Exercícios

1) Determine o conjunto-solução das equações logarítmicas.

a) log₅(𝑥²− 4𝑥− 5) = log₅(2𝑥− 5)

Resolução

𝑥²− 4𝑥− 5 =0

∆= (-4)²-4.(1).(-5)=36

$\frac{4\pm \sqrt{36}}{2}\Rightarrow {{x}_{1}}=5~~~{{x}_{2}}=-1$

𝐶.𝐸: 𝑥< − 1 𝑜𝑢 𝑥> 5

$2x-5=0\Rightarrow 2x=5\Rightarrow x=\frac{5}{2}$

$C.E:x>\frac{5}{2}$

Comparando, temos:

𝑥² − 4𝑥− 5 = 2𝑥− 5

𝑥² − 6𝑥= 0

∆= (6)² - 4.(1).(0) =36

$\frac{6\pm \sqrt{36}}{2}\Rightarrow {{x}_{1}}=6~~~{{x}_{2}}=0$

Verificando as condições de existência, temos 𝑆= {6}.

 

$b){{\log }_{2}}(x+2)+{{\log }_{2}}(x-2)=5$

Resolução:

x + 2= 0 ⇒ x= -2

x - 2= 0 ⇒ x= +2

𝐶.𝐸: 𝑥< − 2 𝑜𝑢 𝑥> 2

Comparando, temos

(x+2).(x-2) = 2⁵⇒ x²-2x+2x-4 =32⇒ x² = 36 ⇒

⇒x=±6

Somente o valor 6 satisfaz as condições de existência, logo, S= {6}

Referências

• Giovanni J,R;Bonjorno, J,R; Giovanni Jr,J,R;Matemática Fundamental Uma Nova Abordagem, editora FTD, 2002.
• Notas de Tópicos de Mátematica, Me. Adilson Simões, São Paulo, 2022

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico com Pós Graduação em Engenharia de Segurança do Trabalho e também sou Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, eu estou estudando Engenharia Civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)