Compartilhe :
Nesta postagem, eu vou resolver alguns exercícios passo a passo aplicando regra de derivação (xn)’ = n.xn-1
$a)f\left( x \right)={{x}^{5}}$
Resolução:
$f'\left( x \right)=n.{{x}^{n-1}}\Rightarrow f'\left( x \right)=5.{{x}^{5-1}}\Rightarrow f'\left( x \right)=5{{x}^{4}}$
$b)f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{5}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{5}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{-5}}\Rightarrow f'\left( x \right)=-5{{x}^{-5-1}}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=-5{{x}^{-6}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-5}{{{x}^{6}}}$
$c)f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{3}}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{3}}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{-3}{2}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-3{{x}^{\frac{-3}{2}-1}}}{2}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-3{{x}^{\frac{-5}{2}}}}{2}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-3}{2{{x}^{\frac{5}{2}}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-3}{2\sqrt{{{x}^{5}}}}$
$d)f\left( x \right)=\sqrt[3]{{{x}^{2}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\sqrt[3]{{{x}^{2}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{2}{3}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{2{{x}^{\frac{2}{3}-1}}}{3}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{2{{x}^{\frac{-1}{3}}}}{3}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$
$e)f\left( x \right)={{x}^{2}}.\sqrt[4]{{{x}^{3}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)={{x}^{2}}.\sqrt[4]{{{x}^{3}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{2}}.{{x}^{\frac{3}{4}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{11}{4}}}\Rightarrow$
Observação: $2+\frac{3}{4}=\frac{11}{4}$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{11{{x}^{\frac{11}{4}-1}}}{4}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{11{{x}^{\frac{7}{4}}}}{4}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{11\sqrt[4]{{{x}^{7}}}}{4}$
$f)f\left( x \right)=\frac{\sqrt{{{x}^{5}}}}{\sqrt[5]{{{x}^{2}}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\frac{\sqrt{{{x}^{5}}}}{\sqrt[5]{{{x}^{2}}}}\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{\frac{5}{2}}}}{{{x}^{\frac{2}{5}}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{5}{2}}}.{{x}^{\frac{-2}{5}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{21}{10}}}\Rightarrow$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{21{{x}^{\frac{21}{10}-1}}}{10}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{21{{x}^{\frac{11}{10}}}}{10}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{21\sqrt[10]{{{x}^{11}}}}{10}$
$g)f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt[3]{x}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt[3]{x}}\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{\frac{1}{3}}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}.{{x}^{\frac{-1}{3}}}\Rightarrow$
$\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{8}{3}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8{{x}^{\frac{8}{3}-1}}}{3}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8{{x}^{\frac{5}{3}}}}{3}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8\sqrt[3]{{{x}^{5}}}}{3}$
$h)f\left( x \right)=x.\sqrt[5]{{{x}^{3}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=x.\sqrt[5]{{{x}^{3}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{1}}.{{x}^{\frac{3}{5}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{8}{5}}}\Rightarrow$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8{{x}^{\frac{8}{5}-1}}}{5}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8{{x}^{\frac{3}{5}}}}{5}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8\sqrt[5]{{{x}^{3}}}}{5}$
$i)f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt[5]{{{x}^{2}}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt[5]{{{x}^{2}}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{-2}{5}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-2{{x}^{\frac{-2}{5}-1}}}{5}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-2{{x}^{\frac{-7}{5}}}}{5}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-2}{5.\sqrt[5]{{{x}^{7}}}}$
$j)f\left( x \right)=3x+2$
Resolução:
$f\left( x \right)=3x+2\Rightarrow f'\left( x \right)=3.\left( 1 \right).{{x}^{1-1}}+0\Rightarrow f'\left( x \right)=3$
Observação: Derivada de constante é igual a zero.
Veja: Tabela de Derivadas Elementares
Lista de exercícios resolvidos
$a)f\left( x \right)={{x}^{5}}$
Resolução:
$f'\left( x \right)=n.{{x}^{n-1}}\Rightarrow f'\left( x \right)=5.{{x}^{5-1}}\Rightarrow f'\left( x \right)=5{{x}^{4}}$
$b)f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{5}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{5}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{-5}}\Rightarrow f'\left( x \right)=-5{{x}^{-5-1}}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=-5{{x}^{-6}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-5}{{{x}^{6}}}$
$c)f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{3}}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{3}}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{-3}{2}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-3{{x}^{\frac{-3}{2}-1}}}{2}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-3{{x}^{\frac{-5}{2}}}}{2}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-3}{2{{x}^{\frac{5}{2}}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-3}{2\sqrt{{{x}^{5}}}}$
$d)f\left( x \right)=\sqrt[3]{{{x}^{2}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\sqrt[3]{{{x}^{2}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{2}{3}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{2{{x}^{\frac{2}{3}-1}}}{3}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{2{{x}^{\frac{-1}{3}}}}{3}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$
$e)f\left( x \right)={{x}^{2}}.\sqrt[4]{{{x}^{3}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)={{x}^{2}}.\sqrt[4]{{{x}^{3}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{2}}.{{x}^{\frac{3}{4}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{11}{4}}}\Rightarrow$
Observação: $2+\frac{3}{4}=\frac{11}{4}$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{11{{x}^{\frac{11}{4}-1}}}{4}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{11{{x}^{\frac{7}{4}}}}{4}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{11\sqrt[4]{{{x}^{7}}}}{4}$
$f)f\left( x \right)=\frac{\sqrt{{{x}^{5}}}}{\sqrt[5]{{{x}^{2}}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\frac{\sqrt{{{x}^{5}}}}{\sqrt[5]{{{x}^{2}}}}\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{\frac{5}{2}}}}{{{x}^{\frac{2}{5}}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{5}{2}}}.{{x}^{\frac{-2}{5}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{21}{10}}}\Rightarrow$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{21{{x}^{\frac{21}{10}-1}}}{10}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{21{{x}^{\frac{11}{10}}}}{10}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{21\sqrt[10]{{{x}^{11}}}}{10}$
$g)f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt[3]{x}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt[3]{x}}\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{\frac{1}{3}}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}.{{x}^{\frac{-1}{3}}}\Rightarrow$
$\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{8}{3}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8{{x}^{\frac{8}{3}-1}}}{3}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8{{x}^{\frac{5}{3}}}}{3}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8\sqrt[3]{{{x}^{5}}}}{3}$
$h)f\left( x \right)=x.\sqrt[5]{{{x}^{3}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=x.\sqrt[5]{{{x}^{3}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{1}}.{{x}^{\frac{3}{5}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{8}{5}}}\Rightarrow$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8{{x}^{\frac{8}{5}-1}}}{5}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8{{x}^{\frac{3}{5}}}}{5}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8\sqrt[5]{{{x}^{3}}}}{5}$
$i)f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt[5]{{{x}^{2}}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt[5]{{{x}^{2}}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{-2}{5}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-2{{x}^{\frac{-2}{5}-1}}}{5}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-2{{x}^{\frac{-7}{5}}}}{5}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-2}{5.\sqrt[5]{{{x}^{7}}}}$
$j)f\left( x \right)=3x+2$
Resolução:
$f\left( x \right)=3x+2\Rightarrow f'\left( x \right)=3.\left( 1 \right).{{x}^{1-1}}+0\Rightarrow f'\left( x \right)=3$
Observação: Derivada de constante é igual a zero.
Veja: Tabela de Derivadas Elementares
Outras Listas de Exercicios Resolvidos de Derivadas
Postagem em formato de vídeo
Para a turma que não está muito afim de ler, segue o link da postagem em formato de vídeo:
https://www.youtube.com/watch?v=zqdmfXeLj8M
Referências
- Notas de Cálculo Integral Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
- Notas de Cálculo Integral Diferencial, Profº Fernando, Santos, São Paulo, 2010.
Sobre o autor
Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico com Pós Graduação em Engenharia de Segurança do Trabalho e também sou Green Belt em Lean
Six Sigma. Além disso, eu estou estudando Engenharia Civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)
0 Comentários de "Exercícios resolvidos usando regra de derivação"
Os comentários são sempre bem vindos, pois agregam valor ao artigo. Porém, existem algumas regras na Política de Comentários, que devem ser seguidas para o seu comentário não ser excluído:
- Os comentários devem estar relacionados ao assunto do artigo.
- Jamais faça um comentário com linguagem ofensiva ou de baixo calão, que deprecie o artigo exposto ou que ofenda o autor ou algum leitor do blog.
- Não coloque links de sites ou blogs no corpo do texto do comentário. Para isso, assine com seu Nome/URL ou OpenID.
-Não coloque seu email e nem seu telefone no corpo do texto do comentário. Use o nosso formulário de contato.
- Se encontrar algum pequeno erro na postagem, por favor, seja bem claro no comentário, pois a minha bola de cristal não é muito boa.
- Tem vezes que eu demoro pra responder, mas quase sempre eu respondo.
- Não seja tímido, se você tem alguma duvida ou sabe de algo mais sobre o assunto abordado no artigo, comente e compartilhe conosco :)