Integral Dupla (ou Múltipla): Exemplos e Exercícios Resolvidos Passo a Passo

POR Pedro Coelho

Publicado: quarta-feira, 18 de maio de 2016

Compartilhe :

A integral dupla (ou múltipla) é uma integral definida para funções de duas variáveis, que tem um conceito que também pode ser aplicado em integrais com mais variáveis. Nessa postagem, eu vou apenas abordar a aplicação do conceito em funções de duas variáveis.

Introdução a Integral Dupla

Estendendo o conceito de integração para as funções de duas variáveis reais, a integral dupla basicamente é uma integral dentro da outra, sendo o processo de cálculo bastante usado para se obter o volume de um sólido, como por exemplo, o volume do sólido abaixo.

Observamos que R é a região em que f em R não é negativo, e observando o sólido, notamos que a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d, logo, a integral dupla do esquema é:

$V=\iint\limits_{R}{f\left( x,y \right)}~dxdy=\int\limits_{c}^{d}{\int\limits_{a}^{b}{f\left( x,y \right)}}~dxdy$

Exemplos de Exercícios Resolvidos Passo a Passo

1) Calcule a integral dupla das equações abaixo:

a) z = 6 -x

Resolução

Integrando em x:

$\int\limits_{0}^{4}{\left( 6-x \right)}~dx\Rightarrow \left[ 6x-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right]_{0}^{4}\Rightarrow \left( 6\left( 4 \right)-\frac{{{\left( 4 \right)}^{2}}}{2} \right)-\left( 6\left( 0 \right)-\frac{{{\left( 0 \right)}^{2}}}{2} \right)\Rightarrow$

$\Rightarrow \left( 24-8 \right)-\left( 0 \right)=16$

Integrando em y:

$\int\limits_{0}^{8}{16~dy}\Rightarrow \left[ 16y \right]_{0}^{8}\Rightarrow \left( 16.\left( 8 \right) \right)-\left( 16.\left( 0 \right) \right)=128$

b) z = 9-x²

Resolução

Integrando em x:

$\int\limits_{0}^{3}{\left( 9-{{x}^{2}} \right)~}dx\Rightarrow \left[ 9x-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right]_{0}^{3}\Rightarrow \left( 9\left( 3 \right)-\frac{{{\left( 3 \right)}^{3}}}{3} \right)-\left( 9\left( 0 \right)-\frac{{{\left( 0 \right)}^{3}}}{3} \right)\Rightarrow$

$\Rightarrow \left( 27-9 \right)-\left( 0 \right)=18$

Integrando em y:

$\int\limits_{0}^{5}{18~dy}\Rightarrow \left[ 18y \right]_{0}^{5}\Rightarrow \left( 18.\left( 5 \right) \right)-\left( 18.\left( 0 \right) \right)=90$

c) z = x² +xy²

Resolução

Integrando em x:

$\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}+xy \right)}~dx\Rightarrow \left[ \frac{{{x}^{3}}}{3}+\frac{{{x}^{2}}y}{2} \right]_{0}^{2}\Rightarrow$

$\Rightarrow \left( \frac{{{\left( 2 \right)}^{3}}}{3}+\frac{{{\left( 2 \right)}^{2}}y}{2} \right)-\left( \frac{{{\left( 0 \right)}^{3}}}{3}+\frac{{{\left( 0 \right)}^{2}}y}{2} \right)=\frac{8}{3}+\frac{4y}{2}=\frac{8}{3}+2y$

Integrando em y:

$\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{8}{3}+2y \right)~}dy\Rightarrow \left[ \frac{8y}{3}+{{y}^{2}} \right]_{0}^{1}\Rightarrow$

$\Rightarrow \left( \frac{8\left( 1 \right)}{3}+{{\left( 1 \right)}^{2}} \right)-\left( \frac{8\left( 0 \right)}{3}+{{\left( 0 \right)}^{2}} \right)=\frac{8}{3}+1=\frac{11}{3}$

Aplicando a Integração Dupla ao Cálculo do Centro de Massa

Uma das aplicações da integral dupla é o cálculo do centro de massa:

Em que o equilíbrio:

$m1.d1=m2.d2\Rightarrow m1\left( \overline{x}-x1 \right)=m2\left( x2-\overline{x} \right)$

Ou

$m1\left( \overline{x}-x1 \right)-m2\left( x2-\overline{x} \right)=0\Rightarrow $

$\Rightarrow m1.\overline{x}-m1x1-m2.x2+m2.\overline{x}=0\Rightarrow $

$\Rightarrow \left( m1+m2 \right)\overline{x}=m1x1+m2.x2\Rightarrow $

$\Rightarrow \overline{x}=\frac{m1x1+m2.x2}{m1+m2}$

De forma geral: $\overline{x}=\frac{\sum xi.mi}{\sum mi}$

$\delta \left( x,y \right)=\frac{mi}{dx.dy}\Rightarrow mi=\delta \left( x,y \right).dx.dy$

$\overline{x}=\frac{\iint{xi.\delta \left( x,y \right).dx.dy}}{\iint{\delta \left( x,y \right).dx.dy}}=\frac{My}{M}$

Analogamente:

$\overline{y}=\frac{\iint{y.\delta \left( x,y \right).dx.dy}}{\iint{\delta \left( x,y \right).dx.dy}}=\frac{Mx}{M}$

Então:

$\overline{x}=\frac{My}{M}~~~\overline{y}=\frac{Mx}{M}$

Exemplo de Aplicação Resolvido Passo a Passo

1) Calcule o centro de massa da região R com δ(x,y) = x.y:

Resolução:

$1)M=\iint{xy~dx~dy\Rightarrow }\int\limits_{0}^{2}{\int\limits_{2x}^{4}{xy}}~dy~dx\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{\left[ \frac{x{{y}^{2}}}{2} \right]_{2x}^{4}}dx\Rightarrow $

$\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{\left( \frac{x{{\left( 4 \right)}^{2}}}{2} \right)-}\left( \frac{x{{\left( 2x \right)}^{2}}}{2} \right)dx\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{\left( 8x-2{{x}^{3}} \right)}dx$

$\int\limits_{0}^{2}{\left( 8x-2{{x}^{3}} \right)}dx\Rightarrow \left[ \frac{8{{x}^{2}}}{2}-\frac{2{{x}^{4}}}{4} \right]_{0}^{2}\Rightarrow \left[ 4{{x}^{2}}-\frac{{{x}^{4}}}{2} \right]_{0}^{2}\Rightarrow $

$\Rightarrow \left( 4{{\left( 2 \right)}^{2}}-\frac{{{\left( 2 \right)}^{4}}}{2} \right)-\left( 4{{\left( 0 \right)}^{2}}-\frac{{{\left( 0 \right)}^{4}}}{2} \right)\Rightarrow \left( 16-8 \right)=8$

$2)Mx=\iint\limits_{R}{xy.\left( y \right)}~dxdy\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{\int\limits_{2x}^{4}{x{{y}^{2}}dydx\Rightarrow }}\int\limits_{0}^{2}{\left[ \frac{x{{y}^{3}}}{3} \right]_{2x}^{4}}\Rightarrow $ 

$\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{\left( \frac{x{{\left( 4 \right)}^{3}}}{3} \right)-\left( \frac{x{{\left( 2x \right)}^{3}}}{3} \right)dx}\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{\left( \frac{64x}{3}-\frac{8{{x}^{4}}}{3} \right)dx}$

$\int\limits_{0}^{2}{\left( \frac{64x}{3}-\frac{8{{x}^{4}}}{3} \right)dx}\Rightarrow \left[ \frac{32{{x}^{2}}}{3}-\frac{8{{x}^{5}}}{15} \right]_{0}^{2}\Rightarrow $

$\Rightarrow \left( \frac{32{{\left( 2 \right)}^{2}}}{3}-\frac{8{{\left( 2 \right)}^{5}}}{15} \right)-\left( \frac{32{{\left( 0 \right)}^{2}}}{3}-\frac{8{{\left( 0 \right)}^{5}}}{15} \right)=\left( \frac{128}{3}-\frac{256}{15} \right)=\frac{384}{15}=\frac{128}{5}$

$3)My=\iint\limits_{R}{xy\left( x \right)}~dxdy\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{\int\limits_{2x}^{4}{{{x}^{2}}y~dy}}dx\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{\left[ \frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{2} \right]_{2x}^{4}dx\Rightarrow }$

$\int\limits_{0}^{2}{\left( \frac{{{x}^{2}}{{\left( 4 \right)}^{2}}}{2} \right)-\left( \frac{{{x}^{2}}{{\left( 2x \right)}^{2}}}{2} \right)dx\Rightarrow }\int\limits_{0}^{2}{\left( 8{{x}^{2}}-2{{x}^{4}} \right)dx}$

$\int\limits_{0}^{2}{\left( 8{{x}^{2}}-2{{x}^{4}} \right)dx}\Rightarrow \left[ \frac{8{{x}^{3}}}{3}-\frac{2{{x}^{5}}}{5} \right]_{0}^{2}\Rightarrow $

$\Rightarrow \left( \frac{8{{\left( 2 \right)}^{3}}}{3}-\frac{2{{\left( 2 \right)}^{5}}}{5} \right)-\left( \frac{8{{\left( 0 \right)}^{3}}}{3}-\frac{2{{\left( 0 \right)}^{5}}}{5} \right)=\frac{64}{3}-\frac{64}{5}=\frac{128}{15}$

Logo:

$\overline{y}=\frac{Mx}{M}=\frac{\frac{128}{5}}{8}=\frac{128}{5}.\frac{1}{8}=\frac{16}{5}$

$\overline{x}=\frac{My}{M}=\frac{\frac{128}{15}}{8}=\frac{128}{15}.\frac{1}{8}=\frac{16}{15}$

$C\left( \frac{16}{15}~~,\frac{16}{5} \right)$

Referências

• Notas de Cálculo Integral Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
• Notas de Cálculo Integral Diferencial, Prof Sergio, Santos, São Paulo, 2011.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)