Gradiente e Derivada Direcional: Exemplos de Aplicação

POR Pedro Coelho

Publicado: quinta-feira, 31 de março de 2016

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A derivada direcional é uma derivada parcial que é calculada na direção de um vetor unitário “u”. Sendo a sua função medir a taxa instantânea de crescimento ou decrescimento de uma função num ponto x e y, segundo a direção de um vetor unitário u, e o vetor formado pelas derivadas de z é chamado de gradiente, e é representado por ∇z.

Antes de ler este post, eu recomendo que você dê uma olhada nas nossas páginas de geometria e cálculo para rever alguns conceitos, caso você não se lembre.

Entendendo Gradiente e Derivada Direcional

Seja z = f(x,y); P um ponto, $\overrightarrow{U}$um vetor, chama-se derivada direcional de z na direção $\overrightarrow{U}$ a função:

$\frac{Dz}{\overrightarrow{U}}=\nabla z.\frac{\overrightarrow{U}}{\left| \overrightarrow{U} \right|}$, em que $\nabla z=\left( \frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y} \right)$ é um vetor que é formado pelas derivadas parciais de Z, de nome “gradiente de Z”.

Analogamente,

$\nabla z\left( P \right)=\left( \frac{\partial z}{\partial x}\left( P \right),\frac{\partial z}{\partial y}\left( P \right) \right)$

$\frac{Dz}{\overrightarrow{U}}=\nabla z\left( P \right).\frac{\overrightarrow{U}}{\left| \overrightarrow{U} \right|}$

${{D}_{\overrightarrow{U}}}z$ mede a taxa de variação de z em P, quando nos movemos a partir de P na direção $\overrightarrow{U}$.

Exemplo de aplicação

1) Seja z = f(x,y) = x² +3y +xy +1 ; P = (5,2) ; $\overrightarrow{U}$ =(3,4);

Calcule:

a)$\nabla z$

b) $\nabla z\left( P \right)$

c) ${{D}_{\overrightarrow{U}}}z\left( P \right)$

Resolução

Derivando z em y:

$\frac{\partial z}{\partial y}=3+x$

Derivando z em x:

$\frac{\partial z}{\partial y}=2x+y$

$a)\nabla z=\left( \frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y} \right)=\left( 2x+y,~~~3+x \right)$

$b)\nabla z\left( P \right)=\left( 2x+y,~~~3+x \right)=\left( 2\left( 5 \right)+\left( 2 \right),~~~3+\left( 5 \right) \right)=\left( 12,8 \right)$

$c){{D}_{\overrightarrow{U}}}z=\nabla z.\frac{\overrightarrow{U}}{\left| \overrightarrow{U} \right|}=\left( 2x+y,~~~3+x \right).\frac{\left( 3,4 \right)}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}\Rightarrow $

${{D}_{\overrightarrow{U}}}z=\left( 2x+y,~~~3+x \right).\frac{\left( 3,4 \right)}{5}=\frac{6x+3y+12+4x}{5}\Rightarrow $

$\Rightarrow {{D}_{\overrightarrow{U}}}z=\frac{10x+3y+12}{5}$

Logo:

${{D}_{\overrightarrow{U}}}z\left( P \right)=\frac{10\left( 5 \right)+3\left( 2 \right)+12}{5}=13,6$

Interpretando Gradientes

Seja z = f(x,y) uma função e P um de seus pontos, podemos de forma geral derivar z em P em função de uma direção $\overrightarrow{U}$ qualquer. Mas, quando fazemos na direção $\nabla z\left( P \right)$, algo importante aparece.

Lembrando que:

${{D}_{\overrightarrow{U}}}z\left( P \right)=\nabla z\left( P \right).\frac{\overrightarrow{U}}{\left| \overrightarrow{U} \right|}=\left| \nabla z\left( P \right) \right|.\left| \frac{\overrightarrow{U}}{\left| \overrightarrow{U} \right|} \right|.\cos \theta =\left| \nabla z\left( P \right) \right|.\cos \theta $

Verificamos que:

1) A derivada é máxima quando θ = 0, isto é, quando $\overrightarrow{U}=\nabla z\left( P \right)$

... Neste caso ${{D}_{\max }}=\left| \nabla z\left( P \right) \right|$

2) A derivada é mínima quando θ = 180°, isto é, quando $\overrightarrow{U}=\nabla z\left( P \right)$

... Neste caso ${{D}_{\min }}=-\left| \nabla z\left( P \right) \right|$

3) A derivada é zero quando θ = 90°, isto é, quando $\overrightarrow{U}\bot \nabla z\left( P \right)$

Exemplo de aplicação

1) Seja $z=\sqrt{26-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$, P = (4,3).

Calcule: ${{D}_{\max }}_{\left( P \right)}^{~~z}$, indicando a direção dela.

${{D}_{\min }}_{\left( P \right)}^{~~z}$, indicando a direção dela.

Em que indique a direção D = 0.

Resolução:

Na direção de x:

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{26-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}.\left( 2x \right)\Rightarrow $

Sendo $z=\sqrt{26-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$, logo:

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2z}.\left( 2x \right)=\frac{x}{z}$

Na direção de y:

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{26-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}.\left( -2y \right)\Rightarrow $

Sendo $z=\sqrt{26-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$, logo:

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2z}.\left( -2y \right)=\frac{-y}{z}$

Na direção de y:

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{26-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}.\left( -2y \right)\Rightarrow $

Sendo $z=\sqrt{26-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$, logo:

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2z}.\left( -2y \right)=\frac{-y}{z}$

Concluindo:

$\nabla z\left( P \right)=\frac{-x}{z},\frac{-y}{z}=\left( \frac{-4}{\sqrt{26-{{\left( 4 \right)}^{2}}-{{\left( 3 \right)}^{2}}}},\frac{-3}{\sqrt{26-{{\left( 4 \right)}^{2}}-{{\left( 3 \right)}^{2}}}} \right)=\left( -4,-3 \right)$

${{D}_{\max }}=\left| \left( -4,-3 \right) \right|=\sqrt{{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}=5$ (Na direção do vetor (-4, -3)).

${{D}_{\min }}=-\left| \left( -4,-3 \right) \right|=-\sqrt{{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}=-5$ (Na direção do vetor (4, 3)).

Referências

• Notas de Cálculo Integral e Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
• Notas de Cálculo Integral e Diferencial, Profº Sérgio, Santos, São Paulo, 2011.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico com Pós Graduação em Engenharia de Segurança do Trabalho e também sou Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, eu estou estudando Engenharia Civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)