Exercícios resolvidos de limites – Parte 1

POR Pedro Coelho

Publicado: domingo, 13 de março de 2016

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Nessa postagem, eu estarei resolvendo alguns exercícios de limites, sendo que, em breve, terá sim uma parte 2, para a alegria do pessoal! =)

Caso você não saiba como calcular o limite de uma função e nem o que é briot ruffini, eu sugiro que antes você de uma olhada nos nossos seguintes posts:

• https://www.engquimicasantossp.com.br/2013/07/limite-de-uma-funcao.html
• https://www.engquimicasantossp.com.br/2015/05/dispositivo-pratico-de-briot-ruffini.html 

Exercícios de Limite

1)Calcule os limites:

$1)\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}$

Resolução:

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right).\left( x-1 \right)}{\left( x-1 \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( x+1 \right)=1+1=2$

$2)\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{4-{{x}^{2}}}{2+x}$

Resolução:

$\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{4-{{x}^{2}}}{2+x}\Rightarrow \underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2+x \right)\left( 2-x \right)}{\left( 2+x \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow \underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\left( 2-x \right)=2-\left( -2 \right)=4$

$3)\underset{x\to {}^{3}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{\mathop{\lim }}\,\frac{4{{x}^{2}}-9}{2x-3}$

Resolução:

$\underset{x\to {}^{3}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{\mathop{\lim }}\,\frac{4{{x}^{2}}-9}{2x-3}\Rightarrow \underset{x\to {}^{3}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2x+3 \right)\left( 2x-3 \right)}{\left( 2x-3 \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow \underset{x\to {}^{3}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x+3 \right)=\left( 2\left( \frac{3}{2} \right)+3 \right)=6$

$4)\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-4x+3}{{{x}^{2}}-x-6}$

Resolução:

$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-4x+3}{{{x}^{2}}-x-6}\Rightarrow \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{3}^{2}}-4\left( 3 \right)+3}{{{3}^{2}}-3-6}=\frac{0}{0}$

Indeterminado

Se um polinômio se anula para x = a, então ele é divisível por x –a , logo, pode ser dividido usando o dispositivo prático de Briot Ruffini, lembrando que “a” nesse caso é o “x” do limite!

x-a = 0 → x-3=0 → x=3

$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-3 \right)\left( x-1 \right)}{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)}\Rightarrow \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-1 \right)}{\left( x+2 \right)}=\frac{\left( 3-1 \right)}{\left( 3+2 \right)}=\frac{2}{5}$

$5)\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{8+{{x}^{3}}}{4-{{x}^{2}}}$

Resolução:

$\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{8+{{x}^{3}}}{4-{{x}^{2}}}=\frac{8+{{\left( -2 \right)}^{3}}}{4-{{\left( -2 \right)}^{2}}}=\frac{0}{0}$

Mesmo caso, o polinômio se anula para x = a, então podemos dividir por x –a . Aplicando Briot Ruffini: 

x-a = 0 → x-(-2)=0 → x=-2

$\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)}{\left( x+2 \right)\left( -x+2 \right)}=\frac{{{\left( -2 \right)}^{2}}-2\left( -2 \right)+4}{-\left( -2 \right)+2}=\frac{12}{4}=3$

$6)\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-x-3}{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2}$

Resolução

$\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-x-3}{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2}\Rightarrow \underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( -1 \right)}^{3}}+3{{\left( -1 \right)}^{2}}-\left( -1 \right)-3}{{{\left( -1 \right)}^{3}}-{{\left( -1 \right)}^{2}}+2}=\frac{0}{0}$

Aplicando Briot Ruffini:

x-a = 0 → x-(-1)=0 → x=-1

$\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)}{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)}\Rightarrow \underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)}{\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow \underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)}{\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{2}}+2\left( -1 \right)-3}{{{\left( -1 \right)}^{2}}-2\left( -1 \right)+2}=\frac{-4}{5}$

$7)\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}-x+2}{2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1}$

Resolução:

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}-x+2}{2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1}=\frac{3{{\left( 1 \right)}^{3}}-4{{\left( 1 \right)}^{2}}-\left( 1 \right)+2}{2{{\left( 1 \right)}^{3}}-3{{\left( 1 \right)}^{2}}+1}=\frac{0}{0}$

Aplicando Briot Ruffini:

x-a = 0 → x-(1)=0 → x=1

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-1 \right)\left( 3{{x}^{2}}-x-2 \right)}{\left( x-1 \right)\left( 2{{x}^{3}}-x-1 \right)}\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 3{{x}^{2}}-x-2 \right)}{\left( 2{{x}^{3}}-x-1 \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 3{{x}^{2}}-x-2 \right)}{\left( 2{{x}^{3}}-x-1 \right)}=\frac{3{{\left( 1 \right)}^{2}}-\left( 1 \right)-2}{2{{\left( 1 \right)}^{3}}-\left( 1 \right)-1}=\frac{0}{0}$

Como o limite resultou-se indeterminado, aplicaremos Briot Ruffini mais uma vez:

$\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-1 \right)\left( 3x+2 \right)}{\left( x-1 \right)\left( 2x+1 \right)}\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 3x+2 \right)}{\left( 2x+1 \right)}=\frac{3\left( 1 \right)+2}{2\left( 1 \right)+1}=\frac{5}{3}$

$8)\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}-16}{8-{{x}^{3}}}$

Resolução:

$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}-16}{8-{{x}^{3}}}=\frac{{{\left( 2 \right)}^{4}}-16}{8-{{\left( 2 \right)}^{3}}}=\frac{0}{0}$

Aplicando Briot Ruffini:

x-2 = 0 → x-(2)=0 → x=2

$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+4x+8 \right)}{\left( x-2 \right)\left( -{{x}^{2}}-2x-4 \right)}\Rightarrow \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+4x+8}{-{{x}^{2}}-2x-4}\Rightarrow $

$\Rightarrow \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+4x+8}{-{{x}^{2}}-2x-4}=\frac{{{\left( 2 \right)}^{3}}+2{{\left( 2 \right)}^{2}}+4\left( 2 \right)+8}{-{{\left( 2 \right)}^{2}}-2\left( 2 \right)-4}=-\frac{32}{12}=-\frac{8}{3}$

$9)\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-3x+2}{{{x}^{4}}-4x+3}$

Resolução:

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-3x+2}{{{x}^{4}}-4x+3}=\frac{{{\left( 1 \right)}^{3}}-3\left( 1 \right)+2}{{{\left( 1 \right)}^{4}}-4\left( 1 \right)+3}=\frac{0}{0}$

Aplicando Briot Ruffini:

x-1 = 0 → x-(1)=0 → x=1

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x-3 \right)}\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x-3 \right)}=$

$=\frac{{{\left( 1 \right)}^{2}}+\left( 1 \right)-2}{{{\left( 1 \right)}^{3}}+{{\left( 1 \right)}^{2}}+\left( 1 \right)-3}=\frac{0}{0}$

Como o limite resultou-se indeterminado, aplicaremos Briot Ruffini mais uma vez:

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)}=\frac{\left( x+2 \right)}{\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)}=\frac{\left( 1 \right)+2}{{{\left( 1 \right)}^{2}}+2\left( 1 \right)+3}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

$10)\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$

Resolução: 

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{x}-1 \right)}{\left( x-1 \right)}.\frac{\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\left( \sqrt{x}+1 \right)}\Rightarrow$

$\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+\sqrt{x}-\sqrt{x}-1 \right)}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-1 \right)}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\left( \sqrt{x}+1 \right)}=\frac{1}{\sqrt{1}+1}=\frac{1}{2}$

Postagem em formato de vídeo

Para a turma que não está muito afim de ler, segue o link da postagem em formato de vídeo:

https://www.youtube.com/watch?v=7RVFHWgTc1k

Link da Parte 2 dessa lista de exercicios

https://www.engquimicasantossp.com.br/2016/05/exercicios-resolvidos-de-limites-parte-2.html 

Referências

• Notas de Cálculo Integral Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
• Notas de Cálculo Integral Diferencial, Prof Fernando, Santos, São Paulo, 2010.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico com Pós Graduação em Engenharia de Segurança do Trabalho e também sou Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, eu estou estudando Engenharia Civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)