Equações Diferenciais Ordinárias (EDO): Exemplos de aplicação

POR Pedro Coelho

Publicado: segunda-feira, 8 de fevereiro de 2016

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As equações diferenciais ordinárias (ou EDOs) são equações que envolvem, de forma implícita, pelo menos uma derivada de y.

Exemplos: x² +2 = y'', 4xy = y', y'' +4y' + 3y =0, y +y' =2

Exemplos de aplicação

$a)2y.y'=1$

Resolução:

$2y.y'=1\Rightarrow 2y\left( \frac{dy}{dx} \right)=1\Rightarrow 2y.dy=1.dx\Rightarrow $

Aplicando a integral:

$\Rightarrow \int{2y.dy}=\int{1.dx}\Rightarrow \frac{2{{y}^{2}}}{2}+C=x+C\Rightarrow $

$\Rightarrow {{y}^{2}}+C=x+C\Rightarrow {{y}^{2}}=x+C\Rightarrow $

$\Rightarrow y=\pm \sqrt{x+C}$

$b)y=-\sqrt{x+7}$

Derivando em y:

$y=-\sqrt{x+7}\Rightarrow y'=\frac{-1}{2\sqrt{x+7}}\Rightarrow $

Substituindo y:

$\Rightarrow y'=\frac{1}{2y}\Rightarrow 2y.y'=1$

$c)\left( {{x}^{2}}+3 \right)dy-2xydx=0$

$\left( {{x}^{2}}+3 \right)dy-2xydx=0\Rightarrow \left( {{x}^{2}}+3 \right)dy=2xydx\Rightarrow $

$\Rightarrow \left( {{x}^{2}}+3 \right)\frac{dy}{dx}=2xy\Rightarrow \left( {{x}^{2}}+3 \right).y'=2xy\Rightarrow $

$\Rightarrow y'=\frac{2xy}{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}\Rightarrow \frac{1}{y}.\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}\Rightarrow \frac{1}{y}.dy=\frac{2x}{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}.dx\Rightarrow $

Integrando os dois lados: (Caso tenha dificuldade em fazer integral por substituição sugiro que você veja nosso post sobre esse assunto.)

$\Rightarrow \int{\frac{1}{y}dy}=\int{\frac{2x}{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}dx}\Rightarrow \ln \left( y \right)=\ln \left( {{x}^{2}}+3 \right)+C\Rightarrow $

Aplicando logaritmos naturais:

$\Rightarrow {{e}^{\ln \left( y \right)}}={{e}^{\ln \left( {{x}^{2}}+3 \right)+C}}\Rightarrow {{e}^{\ln \left( y \right)}}={{e}^{\ln \left( {{x}^{2}}+3 \right)}}.{{e}^{C}}\Rightarrow y=\left( {{x}^{2}}+3 \right).{{e}^{C}}$

Como o logaritmo natural de C é ele mesmo, logo:

$y=\left( {{x}^{2}}+3 \right).C$

$d)\left( {{x}^{2}}+1 \right)dy+{{y}^{2}}dx=0$

$\left( {{x}^{2}}+1 \right)dy+{{y}^{2}}dx=0\Rightarrow \left( {{x}^{2}}+1 \right)dy=-{{y}^{2}}dx\Rightarrow $

$\Rightarrow -\frac{1}{{{y}^{2}}}dy=\frac{1}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}dx\Rightarrow $

Integrando os dois lados: (Caso necessário, consulte a nossa tabela de integrais elementares)

$\Rightarrow -\int{\frac{1}{{{y}^{2}}}dy}=\int{\frac{1}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}dx}\Rightarrow -\frac{1}{y}=arctg\left( x \right)+C\Rightarrow $

$\Rightarrow y=-\frac{1}{\left( arctg\left( x \right)+C \right)}$

$e)y'-y=0$

$y'-y=0\Rightarrow \frac{dy}{dx}-y=0\Rightarrow \frac{dy}{dx}=y\Rightarrow $

$\Rightarrow \frac{1}{y}dy=dx\Rightarrow $

Integrando os dois lados

$\Rightarrow \int{\frac{1}{y}dy}=\int{dx}\Rightarrow \ln \left( y \right)=x+C\Rightarrow $

$\Rightarrow y={{e}^{x+C}}$

Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda Ordem Homogênea com Coeficientes Constantes

Essa EDOs são equações do tipo: y''+by'+cy = 0, em que b e c são constantes, sendo que a sua equação característica pode ser montada a partir da seguinte técnica:

Resolvendo a equação característica:

Então:

$y={{e}^{\alpha x}}\left( C1.\cos \left( \beta x \right)+C2.sen\left( \beta x \right) \right)$

Exemplos de aplicação

Observação: Caso você não se lembre das regras de derivadas, veja o nosso post sobre regras de derivação.

a) y''-5y'+6y = 0 com y (0) = 10 e y’(0) = 26

Resolução:

$Eq.caracter\acute{i}stica:{{r}^{2}}-5r+6=0\Rightarrow $

$\Rightarrow \Delta =\left( {{b}^{2}} \right)-4.a.c\Rightarrow \Delta =\left( -{{5}^{2}} \right)-4.\left( 1 \right).\left( 6 \right)=1$

$r1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\Rightarrow r1=\frac{-\left( -5 \right)-\sqrt{1}}{2}=2$

$r2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\Rightarrow r2=\frac{-\left( -5 \right)+\sqrt{1}}{2}=3$

$y\left( 0 \right)=10$

$y=C1.{{e}^{2x}}+C2.{{e}^{3x}}\Rightarrow 10=C1.{{e}^{2\left( 0 \right)}}+C2.{{e}^{3\left( 0 \right)}}\Rightarrow C1+C2=10$

$y'\left( 0 \right)=26$

$y'=C1.{{e}^{2x}}.2+C2.{{e}^{3x}}.3\Rightarrow 26=C1.{{e}^{2\left( 0 \right)}}.2+C2.{{e}^{3\left( 0 \right)}}.3\Rightarrow 2C1+3C2=26$

Logo,

$C1+C2=10\Rightarrow C1=10-C2~~\left( eq1 \right)$

$2C1+3C2=26~\left( eq2 \right)$

Substituindo a “eq1” na “eq2”:

$2C1+3C2=26~\Rightarrow 2\left( 10-C2 \right)+3C2=26~\Rightarrow $

$\Rightarrow 2\left( 10-C2 \right)+3C2=26~\Rightarrow 20-2C2+3C2=26\Rightarrow C2=6$

Logo:

$C1=10-6~~=4$

$y=C1.{{e}^{r1.x}}+C2.{{e}^{r2.x}}\Rightarrow y=4.{{e}^{2x}}+6.{{e}^{3x}}$

b) y''-10y'+25y = 0 com y(0)=3 e y'(0)=13

Resolução:

$Eq.caracter\acute{i}stica:{{r}^{2}}-10r+25=0\Rightarrow $

$\Rightarrow \Delta =\left( {{b}^{2}} \right)-4.a.c\Rightarrow \Delta =\left( -{{10}^{2}} \right)-4.\left( 1 \right).\left( 25 \right)=0$

$r1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\Rightarrow r1=\frac{-\left( -10 \right)-\sqrt{0}}{2}=5$

$r2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\Rightarrow r2=\frac{-\left( -10 \right)+\sqrt{0}}{2}=5$

$y\left( 0 \right)=3$

$y=C1.{{e}^{5x}}+C2.x.{{e}^{5x}}\Rightarrow 3=C1.{{e}^{5\left( 0 \right)}}+C2.0.{{e}^{5\left( 0 \right)}}\Rightarrow C1=3$

$y'\left( 0 \right)=13$

$y'=C1.{{e}^{5x}}.5+C2.{{e}^{5x}}+C2.x.{{e}^{5x}}.5\Rightarrow $

$\Rightarrow 13=C1.{{e}^{5\left( 0 \right)}}.5+C2.{{e}^{5\left( 0 \right)}}+C2.0.{{e}^{5\left( 0 \right)}}.5\Rightarrow $

Substituindo o valor de C1:

$\Rightarrow 13=5C1+C2\Rightarrow 13=5\left( 3 \right)+C2\Rightarrow C2=-2$

Resposta:

$y=C1.{{e}^{5.x}}+C2.x{{e}^{5x}}\Rightarrow y=3.{{e}^{5x}}-2.{{e}^{5x}}$

c)y'' - 4y' +29y = 0 , com y(0) = 3 e y '(0) = 26

Resolução:

$Eq.caracter\acute{i}stica:{{r}^{2}}-4r+29=0\Rightarrow $

$\Rightarrow \Delta =\left( {{b}^{2}} \right)-4.a.c\Rightarrow \Delta =\left( -{{4}^{2}} \right)-4.\left( 1 \right).\left( 29 \right)=-100$

$r1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\Rightarrow r1=\frac{-\left( -4 \right)-\sqrt{-100}}{2}=2-5i$

$r2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\Rightarrow r2=\frac{-\left( -10 \right)+\sqrt{-100}}{2}=2+5i$

$y\left( 0 \right)=3$

$y={{e}^{\alpha x}}\left( C1.\cos \left( \beta x \right)+C2.sen\left( \beta x \right) \right)$

Sendo α=2 e β=5, logo:

$y={{e}^{2x}}\left( C1.\cos \left( 5x \right)+C2.sen\left( 5x \right) \right)\Rightarrow 3={{e}^{2\left( 0 \right)}}\left( C1.\cos \left( 5\left( 0 \right) \right)+C2.sen\left( 5\left( 0 \right) \right) \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow 3=1\left( C1.+0 \right)\Rightarrow C1=3$

$y'\left( 0 \right)=26$

$y'={{e}^{2x}}.2.\left( C1.\cos \left( 5x \right)+C2.sen\left( 5x \right) \right)+{{e}^{2x}}\left( C1.-sen\left( 5x \right).5+C2.\cos \left( 5x \right).5 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow 26={{e}^{2\left( 0 \right)}}.2.\left( C1.\cos \left( 0 \right)+C2.sen\left( 0 \right) \right)+{{e}^{2\left( 0 \right)}}\left( C1.-sen\left( 0 \right).5+C2.\cos \left( 0 \right).5 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow 26=2.\left( C1 \right)+\left( 5C2 \right)\Rightarrow $

Substituindo o valor de C1:

$\Rightarrow 26=2.\left( 3 \right)+\left( 5C2 \right)\Rightarrow 26=6+5C2\Rightarrow 5C2=20\Rightarrow C2=4$

Resposta:

$y={{e}^{2x}}\left( 3.\cos \left( 5x \right)+4.sen\left( 5x \right) \right)$

d) y'' +3y' =0 com y(0) =9 e y'(0) = -6

Resolução:

$Eq.caracter\acute{i}stica:{{r}^{2}}+3r+=0\Rightarrow $

$\Rightarrow \Delta =\left( {{b}^{2}} \right)-4.a.c\Rightarrow \Delta =\left( {{3}^{2}} \right)-4.\left( 1 \right).\left( 0 \right)=9$

$r1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\Rightarrow r2=\frac{-\left( 3 \right)+\sqrt{9}}{2}=0$

$r2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\Rightarrow r1=\frac{-\left( 3 \right)-\sqrt{9}}{2}=-3$

$y\left( 0 \right)=9$

$y=C1.{{e}^{0.x}}+C2.{{e}^{-3x}}\Rightarrow y=C1+C2.{{e}^{-3x}}\Rightarrow $

$\Rightarrow 9=C1+C2.{{e}^{-3\left( 0 \right)}}\Rightarrow C1=9-C2$

$y'\left( 0 \right)=-6$

$\Rightarrow y'=-3.C2.{{e}^{-3x}}\Rightarrow -6=-3.C2.{{e}^{-3\left( 0 \right)}}\Rightarrow $

$\Rightarrow 6=3.C2\Rightarrow C2=2$

Logo:

$\Rightarrow C1=9-2=7$

Resposta:

$y=7.{{e}^{0.x}}+C2.{{e}^{-3x}}\Rightarrow y=7+2{{e}^{-3x}}$

Referências

• Notas de Cálculo Integral e Diferencial, Profº Sergio, Unisanta, Santos, São Paulo, 2011.
• Notas de Cálculo Integral e Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico com Pós Graduação em Engenharia de Segurança do Trabalho e também sou Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, eu estou estudando Engenharia Civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)