Produto Vetorial (Externo) de Vetores: Exercícios Resolvidos

POR Pedro Coelho

Publicado: quarta-feira, 7 de outubro de 2015

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O produto vetorial (também chamado de produto externo) é uma operação que ocorre entre dois vetores e resulta em um novo vetor, e, além disso, ela também pode ser usada para calcular a área de um paralelogramo e a de um triângulo. Nessa postagem, eu estarei resolvendo exercícios simples, para demonstrar essa operação.

Fórmula do produto vetorial do paralelogramo e do triângulo

Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

1) Encontre o produto vetorial entre os pares de vetores:

$a)\overrightarrow{U}=\left( 1,0,2 \right)~~e~~\overrightarrow{V}=\left( 2,-1,3 \right)$

Resolução

Para resolver esse exercício irei montar uma determinante, e repetirei as duas primeiras colunas; em seguida, traçarei três linhas diagonais para a direita, e três linhas diagonais para a esquerda.

Após tracejar as linhas, iremos multiplicar os números destas, sendo que as linhas diagonais para a esquerda serão multiplicadas por “menos”, isto é, terá valor negativo no final.

Montando a equação:

$\overrightarrow{U}\hat{\ }\overrightarrow{V}~=\left( \left( \overrightarrow{i}~x~0~x~3 \right)+\left( \overrightarrow{j}~x~2~x~2 \right)+\left( \overrightarrow{k}~x~1~x~-1 \right) \right)-\left( \left( \overrightarrow{j}~x~1x~3 \right)+\left( \overrightarrow{i}~x~2~x~-1 \right)+\left( \overrightarrow{k}~x~0~x~2 \right) \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \overrightarrow{U}\hat{\ }\overrightarrow{V}~=\left( \left( 0~ \right)+\left( 4\overrightarrow{j}~ \right)+\left( -1\overrightarrow{k}~ \right) \right)-\left( \left( 3\overrightarrow{j}~ \right)+\left( -2\overrightarrow{i}~ \right)+\left( 0 \right) \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \overrightarrow{U}\hat{\ }\overrightarrow{V}~=\left( 2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k} \right)=\left( 2,1-1 \right)$

$b)\overrightarrow{m}=\left( 1,2,5 \right)~~e~~\overrightarrow{n}=\left( 3,0,1 \right)$

Resolução

Feita a determinante, as duas primeiras colunas são repetidas, e traçamos três linhas diagonais para a direita e três linhas diagonais para a esquerda.

Multiplicando na sua devida ordem, sendo que as linhas diagonais para a esquerda serão multiplicadas com resultado negativo.

Montando a equação

$\overrightarrow{m}\hat{\ }\overrightarrow{n}~=\left( \left( \overrightarrow{i}~x~2~x~1 \right)+\left( \overrightarrow{j}~x~5~x~3 \right)+\left( \overrightarrow{k}~x~1~x~0 \right) \right)-\left( \left( \overrightarrow{j}~x~1x~1 \right)+\left( \overrightarrow{i}~x~5~x~0 \right)+\left( \overrightarrow{k}~x~2~x~3 \right) \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \overrightarrow{m}\hat{\ }\overrightarrow{n}~=\left( \left( 2\overrightarrow{i}~ \right)+\left( 15\overrightarrow{j}~ \right)+\left( 0 \right) \right)-\left( \left( 1\overrightarrow{j}~ \right)+\left( 0 \right)+\left( 6\overrightarrow{k}~ \right) \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \overrightarrow{m}\hat{\ }\overrightarrow{n}~=\left( 2\overrightarrow{i},14\overrightarrow{j},-6\overrightarrow{k}~ \right)=\left( 2,14,-6~ \right)$

2) Dados os dois lados de um triângulo $\overrightarrow{a}=\left( 2,-4,3 \right)~~e~~\overrightarrow{b}=\left( 2,-1,0 \right)$ . Calcule sua a área.

Resolução

A partir da determinante abaixo, vamos copiar as duas primeiras colunas e fazer as devidas multiplicações, lembrando sempre de pôr o sinal de menos para os resultados das linhas diagonais à esquerda.

Montando a equação

$\overrightarrow{a}\hat{\ }\overrightarrow{b}~=\left( \left( \overrightarrow{i}~x~-4~x~0 \right)+\left( \overrightarrow{j}~x~3~x~2 \right)+\left( \overrightarrow{k}~x~2~x~-1 \right) \right)-\left( \left( \overrightarrow{j}~x~2x~0 \right)+\left( \overrightarrow{i}~x~3~x~-1 \right)+\left( \overrightarrow{k}~x~-4~x~2 \right) \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \overrightarrow{a}\hat{\ }\overrightarrow{b}~=\left( \left( 0 \right)+\left( 6\overrightarrow{j}~ \right)+\left( -2\overrightarrow{k}~ \right) \right)-\left( \left( 0 \right)+\left( -3\overrightarrow{i}~ \right)+\left( -8\overrightarrow{k} \right) \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \overrightarrow{a}\hat{\ }\overrightarrow{b}~=\left( 3\overrightarrow{i},6\overrightarrow{j},6\overrightarrow{k} \right)=\left( 3,6,6 \right)$

Lembrando que o módulo de um vetor $\overrightarrow{a}$ , representado por $\left| \overrightarrow{a} \right|$ é um número real “não negativo”:

$\left| \overrightarrow{a} \right|=\sqrt{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}}$

... ou em coordenadas,

$\left| \overrightarrow{a} \right|=\sqrt{\left( x,y,z \right).\left( x,y,z \right)}$

ou

$\left| \overrightarrow{a} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$

Logo, o modulo de $\overrightarrow{a}\hat{\ }\overrightarrow{b}~$ será:

$\left| \overrightarrow{a}\hat{\ }\overrightarrow{b}~ \right|=\sqrt{\left( {{3}^{2}}+{{6}^{2}}+{{6}^{2}} \right)}=\sqrt{81}=9$

Com isso, a área do triângulo:

$At=\frac{1}{2}.\left| \overrightarrow{a}\hat{\ }\overrightarrow{b}~ \right|=\frac{1}{2}.9=4,5$

3)Os lados de um paralelogramo são dados pelos vetores $\overrightarrow{a}=\left( 2,2,4 \right)~~e~~\overrightarrow{b}=\left( 6,0,4 \right)$  Calcule sua área.

Resolução:

Feita a determinante, mostrada abaixo, fazemos as multiplicações entre os elementos abaixo. Lembre-se de copiar as duas primeiras colunas e aplicar o sinal de menos nos resultados das linhas diagonais à esquerda.

Montando a equação:

$\overrightarrow{a}\hat{\ }\overrightarrow{b}~=\left( \left( \overrightarrow{i}~x~2~x~4 \right)+\left( \overrightarrow{j}~x~4~x~6 \right)+\left( \overrightarrow{k}~x~2~x~0 \right) \right)-\left( \left( \overrightarrow{j}~x~2x~4 \right)+\left( \overrightarrow{i}~x~4x~0 \right)+\left( \overrightarrow{k}~x~2~x~6 \right) \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \overrightarrow{a}\hat{\ }\overrightarrow{b}~=\left( \left( 8\overrightarrow{i}~ \right)+\left( 24\overrightarrow{j}~ \right)+\left( 0 \right) \right)-\left( \left( 8\overrightarrow{j}~ \right)+\left( ~0 \right)+\left( 12\overrightarrow{k}~ \right) \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \overrightarrow{a}\hat{\ }\overrightarrow{b}~=\left( 8\overrightarrow{i},16\overrightarrow{j},-12\overrightarrow{k} \right)=\left( 8,16,-12 \right)$

Calculando o módulo de $\overrightarrow{a}\hat{\ }\overrightarrow{b}~$:

$\left| \overrightarrow{a}\hat{\ }\overrightarrow{b}~ \right|=\sqrt{\left( {{8}^{2}}+{{16}^{2}}+{{12}^{2}} \right)}=\sqrt{464}=21,54$

Assim, a área do paralelogramo é:

$Ap=\left| \overrightarrow{a}\hat{\ }\overrightarrow{b}~ \right|=21,54$

Referências

• Notas de Geometria Analítica e Álgebra linear, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
• Notas de aula de Geometria Analítica e Álgebra linear, Sergio R. Lara, Santos, São Paulo, 2010

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico com Pós Graduação em Engenharia de Segurança do Trabalho e também sou Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, eu estou estudando Engenharia Civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)