Condição de coplanaridade entre vetores

POR Pedro Coelho

Publicado: terça-feira, 13 de outubro de 2015

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A coplanaridade, na geometria, é quando todos os pontos se situam no mesmo plano geométrico, sendo que para descobrir se há coplanaridade entre 3 vetores, calculamos a determinante de sua matriz , e caso ela for nula, os vetores são coplanares.

Exercícios de aplicação

1) Dados os pontos A=(2,1,0), B= (1,5,2), C=(3,0,1) e D = (4,1,4), verifique se os vetores $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ e $\overrightarrow{AD}$ são coplanares.

Resolução

Obtendo os vetores $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ e $\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AB}=\left( B-A \right)=\left( 1,5,2 \right)-\left( 2,1,0 \right)=\left( -1,4,2 \right)$

$\overrightarrow{AC}=\left( C-A \right)=\left( 3,0,1 \right)-\left( 2,1,0 \right)=\left( 1,-1,1 \right)$

$\overrightarrow{AD}=\left( D-A \right)=\left( 4,1,4 \right)-\left( 2,1,0 \right)=\left( 2,0,4 \right)$

Para verificar se os vetores são coplanares, irei montar uma determinante, e repetirei as duas primeiras colunas; em seguida, traçarei três linhas diagonais para a direita, e três linhas diagonais para a esquerda.

Após tracejar as linhas, iremos multiplicar os números destas, sendo que as linhas diagonais para a esquerda serão multiplicadas por “menos”, isto é, terá valor negativo no final.

$\left( \left( -1x-1x4 \right)+\left( 4x1x2 \right)+\left( 2x1x0 \right) \right)-\left( \left( 4x1x4 \right)+\left( -1x1x0 \right)+\left( 2x-1x2 \right) \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \left( 4+8+0 \right)-\left( 16+0-4 \right)=12-12=0$ 

Como a determinante é nula, logo são coplanares.

2) Dados os vetores $\overrightarrow{AB}$ = (3,4,2) , $\overrightarrow{BC}$ = (-6 ,-8,4) $\overrightarrow{AC}$ =(-9,-12,6) ,verifique se são coplanares.

Resolução

Através da determinante abaixo, podemos verificar a possível coplanaridade dos vetores. Repita as duas primeiras colunas, e faça a multiplicação nas diagonais. Lembre-se de multiplicar o valor da multiplicação das diagonais à esquerda por -1.

$\left( \left( 3x-8x6 \right)+\left( 4x4x-9 \right)+\left( 2x-6x-12 \right) \right)-\left( \left( 4x-6x6 \right)+\left( 3x4x-12 \right)+\left( 2x-8x-9 \right) \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \left( -144-144+144 \right)-\left( -144-144+144 \right)=0$

Como a determinante é nula, logo são coplanares.

Referências

• Notas de Geometria Analítica e Álgebra linear, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
• Notas de aula de Geometria Analítica e Álgebra linear, Sergio R. Lara, Santos, São Paulo, 2010.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)