O produto escalar é uma operação que só ocorre entre dois vetores e resulta em um número, sendo a operação escrita por A x B, e se houver um pequeno ângulo θ entre A e B, aplica-se a propriedade fundamental do produto escalar, com isso, o resultado do produto escalar de A e B será:
$\overrightarrow{A}~~x~\overrightarrow{B}=\left| \overrightarrow{A} \right|x\left| \overrightarrow{B} \right|x\cos \theta $
O produto escalar mede a extensão em que dois vetores são paralelos. Ele pode ser pensado como a multiplicação de uma magnitude de um vetor pela projeção do outro sobre ele, conforme mostrado na Figura 1C (abaixo), sendo que se os dois vetores forem perpendiculares, o produto escalar é zero.
Exercícios Resolvidos de Produto Escalar
1) Determine o produto escalar entre os pares de vetores abaixo:
$1)~~\overrightarrow{~U}=\left( 2,3,4 \right)~~e~~\overrightarrow{V}=\left( 1,1,0 \right)$
$2)~~\overrightarrow{~m}=\left( 1,-1,6 \right)~~e~~\overrightarrow{H}=\left( 2,0,-1 \right)$
$3)~~\overrightarrow{~a}=\left( 2,1,-1 \right)~~e~~\overrightarrow{b}=\left( 1,2,4 \right)$
Resolução:
$1)~~\overrightarrow{~U}=\left( 2,3,4 \right)~~e~~\overrightarrow{V}=\left( 1,1,0 \right)\Rightarrow $
$\Rightarrow \overrightarrow{U}x\overrightarrow{~V}=\left( 2,3,4 \right)x\left( 1,1,0 \right)=\left( 2x1 \right)+\left( 3x1 \right)+\left( 4x0 \right)\Rightarrow $
$\Rightarrow \overrightarrow{U}x\overrightarrow{~V}=2+3+0=5$
$2)~~\overrightarrow{~m}=\left( 1,-1,6 \right)~~e~~\overrightarrow{H}=\left( 2,0,-1 \right)\Rightarrow $
$\Rightarrow \overrightarrow{m}~x~\overrightarrow{H}=\left( 1,-1,6 \right)x\left( 2,0,-1 \right)=\left( 1x2 \right)+\left( -1x0 \right)+\left( 6x-1 \right)\Rightarrow $
$\Rightarrow \overrightarrow{m}~x~\overrightarrow{H}=2+0-6=-4$
$3)~~\overrightarrow{~a}=\left( 2,1,-1 \right)~~e~~\overrightarrow{b}=\left( 1,2,4 \right)\Rightarrow $
$\Rightarrow \overrightarrow{a~}~x~~\overrightarrow{b}=\left( 2,1,-1 \right)x\left( 1,2,4 \right)=\left( 2x1 \right)+\left( 1x2 \right)+\left( -1x4 \right)\Rightarrow $
$\Rightarrow \overrightarrow{a~}~x~~\overrightarrow{b}=2+2-4=0$
2) Aplique a propriedade fundamental do produto escalar para achar a medida do ângulo entre os vértices $\overrightarrow{m}=\left( 1,-1,6 \right)~~e~~\overrightarrow{H}=\left( 2,0,-1 \right)$
Resolução:
$\overrightarrow{m}=\left( 1,-1,6 \right)~~e~~\overrightarrow{H}=\left( 2,0,-1 \right)\Rightarrow $
$\Rightarrow \overrightarrow{m}~x~\overrightarrow{H}=\left( 1,-1,6 \right)x\left( 2,0,-1 \right)=\left( 1x2 \right)+\left( -1x0 \right)+\left( 6x-1 \right)\Rightarrow $
$\Rightarrow \overrightarrow{m}~x~\overrightarrow{H}=2+0-6=-4$
Calculando o ângulo
$\overrightarrow{m}~~x~\overrightarrow{H}=\left| \overrightarrow{m} \right|x\left| \overrightarrow{H} \right|x\cos \theta \Rightarrow $
Lembrando que o modulo de um vetor , representado por é um número real não negativo
$\left| \overrightarrow{H} \right|=\sqrt{\overrightarrow{H}.\overrightarrow{H}}$
Ou em coordenadas,
$\left| \overrightarrow{H} \right|=\sqrt{\left( x,y,z \right).\left( x,y,z \right)}$
ou
$\left| \overrightarrow{H} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$
Logo, voltando a resolução da equação.
$\Rightarrow -4=\left| \sqrt{{{\left( 1 \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( 6 \right)}^{2}}} \right|x\left| \sqrt{{{\left( 2 \right)}^{2}}+{{\left( 0 \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}} \right|x\cos \theta \Rightarrow $
$\Rightarrow -4=\sqrt{38}~~x\sqrt{5}~~x\cos \theta \Rightarrow $
$\Rightarrow \cos \theta =\frac{-4}{\sqrt{190}}=-0,29=106,87{}^\circ $
Referências
- http://www.britannica.com/science/mechanics (acessado em 27/09/2015 as 16:13)
- Notas de Geometria Analítica e Álgebra linear, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
- Notas de aula de Geometria Analítica e Álgebra linear, Sergio R. Lara, Santos, São Paulo, 2010.
- Geometria Analítica - Steinbruch e Winterle
Sobre o autor
Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico com Pós Graduação em Engenharia de Segurança do Trabalho e também sou Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, eu estou estudando Engenharia Civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)
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