Determinando o Valor da Constante de uma Integral: Exercícios Resolvidos

POR Pedro Coelho

Publicado: sexta-feira, 11 de setembro de 2015

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Dada uma função y = F(x), em que f '(x) é sua derivada, sabemos que a integral da derivada de f ' (x) é uma função F(x), sendo a integral dessa função igual a F(x) + C.

Deste modo, temos infinitas funções que se diferenciam através da constante C, sendo que se for dado F (x0) = y0, poderemos determinar o valor da constante.

Seja F(x) uma função onde sua derivada $f'\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{2}-5x+\frac{3}{{{x}^{2}}}$ e F(-1)=1 

Vamos determinar essa função f(x):

$f'\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{2}-5x+\frac{3}{{{x}^{2}}}$

Integrando a equação:

$\int{f'\left( x \right)~~dx=\frac{1}{2}.\frac{{{x}^{2+1}}}{2+1}-\frac{5{{x}^{1+1}}}{1+1}+\frac{3{{x}^{-2+1}}}{-2+1}+C\Rightarrow }$

$\Rightarrow F\left( x \right)=\frac{1}{2}.\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{5{{x}^{2}}}{2}+\frac{3{{x}^{-1}}}{-1}+C\Rightarrow $

$\Rightarrow F\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{6}-\frac{5{{x}^{2}}}{2}-\frac{3}{x}+C$

Sabendo que F(-1) = 1

$1=\frac{{{\left( -1 \right)}^{3}}}{6}-\frac{5{{\left( -1 \right)}^{2}}}{2}-\frac{3}{\left( -1 \right)}+C\Rightarrow $

$\Rightarrow 1=-\frac{1}{6}-\frac{5}{2}+3+C\Rightarrow $

$\Rightarrow C=1+\frac{1}{6}+\frac{5}{2}-3=C=\frac{6+1+15-18}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Exercícios Resolvidos de Aplicação

1)Determine o valor da constante das integrais das equações abaixo:

$a)f'\left( x \right)=4{{x}^{2}}+8x+4~~e~F\left( 4 \right)=0$

$\int{f'\left( x \right)~~dx=\frac{4{{x}^{2+1}}}{2+1}+\frac{8{{x}^{1+1}}}{1+1}+4x~+C~\Rightarrow }$

$\Rightarrow F\left( x \right)=\frac{4{{x}^{3}}}{3}+\frac{8{{x}^{2}}}{2}+4x~+C~\Rightarrow $

$\Rightarrow F\left( x \right)=\frac{4{{x}^{3}}}{3}+4{{x}^{2}}+4x~+C~\Rightarrow $

Sabendo que F(4) = 0:

$\Rightarrow 0=\frac{4\left( {{4}^{3}} \right)}{3}+4{{\left( 4 \right)}^{2}}+4\left( 4 \right)~+C~\Rightarrow $

$\Rightarrow 0=\frac{4\left( {{4}^{3}} \right)}{3}+4{{\left( 4 \right)}^{2}}+4\left( 4 \right)~+C~\Rightarrow $

$\Rightarrow C=-\frac{4\left( {{4}^{3}} \right)}{3}-4{{\left( 4 \right)}^{2}}-4\left( 4 \right)~~=-165,33$

$b)f'\left( x \right)=3{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+9~~e~~F\left( 3 \right)=0$

$\int{f'\left( x \right)~~dx=\frac{3{{x}^{4+1}}}{4+1}-\frac{3{{x}^{2+1}}}{2+1}+9}x+C\Rightarrow $

$\Rightarrow F\left( x \right)=\frac{3{{x}^{5}}}{5}-\frac{3{{x}^{3}}}{3}+9x+C\Rightarrow $

$\Rightarrow F\left( x \right)=\frac{3{{x}^{5}}}{5}-{{x}^{3}}+9x+C$

Sabendo que F(3) = 0:

$0=\frac{3{{\left( 3 \right)}^{5}}}{5}-{{\left( 3 \right)}^{3}}+9\left( 3 \right)+C\Rightarrow $

$C=-\frac{3{{\left( 3 \right)}^{5}}}{5}+{{\left( 3 \right)}^{3}}-9\left( 3 \right)=-145,8$

$c)f'\left( x \right)=-2{{x}^{3}}-4x-2~~e~~F\left( 2 \right)=4$

$\int{f'\left( x \right)~~dx=-\frac{2{{x}^{3+1}}}{3+1}-\frac{4{{x}^{1+1}}}{1+1}-2x~+C}\Rightarrow $

$\Rightarrow F\left( x \right)=-\frac{2{{x}^{4}}}{4}-\frac{4{{x}^{2}}}{2}-2x~+C\Rightarrow $

$\Rightarrow F\left( x \right)=-\frac{2{{x}^{4}}}{4}-\frac{4{{x}^{2}}}{2}-2x~+C\Rightarrow $

$\Rightarrow F\left( x \right)=\frac{-{{x}^{4}}}{2}-2{{x}^{2}}-2x~+C$

Sabendo que F(2) = 4:

$4=\frac{-\left( {{2}^{4}} \right)}{2}-2\left( {{2}^{2}} \right)-2\left( 2 \right)~+C\Rightarrow$
$C=+\frac{\left( {{2}^{4}} \right)}{2}+2\left( {{2}^{2}} \right)+2\left( 2 \right)~+4\Rightarrow C=24$

Postagem em formato de vídeo

Para a turma que não está muito afim de ler, segue o link da postagem em formato de vídeo:

https://www.youtube.com/watch?v=6T9Mf-ibcaw

Referências

• Notas de Cálculo Integral e Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
• Notas de Cálculo Integral e Diferencial, Professor Lucio, UNISANTA, Santos, São Paulo, 2010.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico com Pós Graduação em Engenharia de Segurança do Trabalho e também sou Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, eu estou estudando Engenharia Civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)