Vetores: Soma e Subtração

POR Pedro Coelho

Publicado: sexta-feira, 10 de julho de 2015

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Os vetores são um conjunto de seguimentos orientados que possuem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Eles são geralmente representados por uma seta, cuja direção é a mesma que a da quantidade, e cujo comprimento é proporcional à magnitude da quantidade.

Embora os vetores possuam uma magnitude e direção, ele não tem posição. Isto é, desde que o seu comprimento não seja alterado, um vetor não é alterado caso é deslocado paralelamente a si.

Introdução a Vetores

Os vetores apareceram no final do século 19, quando o americano Josiah Willard Gibbs e o inglês Oliver Heaviside desenvolveram independentemente a análise de vetores para expressar as novas leis do eletromagnetismo, que foram descobertas pelo físico escocês James Clerk Maxwell. Desde aquela época, os vetores se tornaram essenciais na física, mecânica, engenharia e em outras ciências para descrever forças matematicamente.

Josiah Willard Gibbs e Oliver Heaviside

Sendo usados por muitas grandezas que ocorrem e requerem especificar uma orientação, por exemplo: velocidade , num certo sentido, força, momento, deslocamento , movimento num certo sentido, pois em distinção das quantidades escalares, elas não requerem apenas a especificação da grandeza.

É claro que, a menos que todos os vetores que estamos considerando estejam em um plano, não poderemos representá-los por números complexos , ou pares ordenados, pois as representações de números complexos são de caráter estritamente bidimensional.

Portanto precisamos estender nossas representações, ao passo que compreendamos a ideia de que um vetor é um comprimento orientado.

Assim como na álgebra em que aprendemos a somar e subtrair grandezas escalares, nós precisamos aprender a manipular as grandezas vetoriais e passaremos pelas regras de adição e subtração, para criar uma álgebra de vetores.

Representação de uma grandeza vetorial

Nós podemos representar uma quantidade vetorial F graficamente em grandeza ou módulo, e orientação por uma linha OP:

O módulo do Vetor é representado pelo comprimento da linha OP usando uma escala conveniente) e sua orientação no espaço é indicada por uma seta sobre a linha. A partir de vários tipos de notações em livros para descrever este vetor, podemos nomeá-lo nos seguintes modos:

$F=\overline{OP}~~ou~~\overrightarrow{OP}$

e para seu módulo poderíamos ter:

$F=\left| F \right|=\left| \overrightarrow{OP} \right|=OP$

É óbvio, de nossa definição que se multiplicarmos um vetor por algum escalar λ , então o que estamos fazendo é multiplicar o comprimento do vetor por λ: não estamos alterando sua orientação.

Por exemplo, se F é o segmento orientado $\overrightarrow{OP}$ :

Então 3F seria o vetor $\overrightarrow{OR}$.

Igualdade de 2 vetores

Se 2 vetores são paralelos, apontando para o mesmo sentido, e de mesmo comprimento , dizemos que eles são iguais.

Seja $F=\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{QR}$

Os pontos de aplicação O e Q não precisam ser os mesmos, aqui. Por exemplo, é comum dizer que um avião está voando para leste a 250 Km/h sem especificar sua localização espacial. Um vetor em que o ponto de aplicação não precisa ser especificado é chamado de Vetor Livre.

Se temos dois vetores F e F₁, que são paralelos e de mesmo comprimento, mas de sentidos opostos, chamamos o segundo vetor -F, pois vale (-1). F é então F₁ = -F.

Vetor Unitário (Versor)

É um vetor unitário que tem a mesma direção e o mesmo sentido que o vetor, mas mede um.

Exemplo de versor:

$\overrightarrow{OG}=\left( 2,6,3 \right)$

$\left| \overrightarrow{OG} \right|=\sqrt{{{\left( 2 \right)}^{2}}+{{\left( 6 \right)}^{2}}+{{\left( 3 \right)}^{3}}}=7$

$\frac{\overrightarrow{OG}}{\left| \overrightarrow{OG} \right|}=\frac{\left( 2,6,3 \right)}{7}=\sqrt{\frac{{{\left( 2 \right)}^{2}}+{{\left( 6 \right)}^{2}}+{{\left( 3 \right)}^{3}}}{{{7}^{2}}}}=1$

Soma e Subtração de Vetores

Para entender a soma e a subtração de vetores, vamos conservar a lei do paralelogramo, para soma. Se pretendermos achar E+F, traçamos E e F com o mesmo ponto de aplicação e completamos o paralelogramo. A diagonal deste paralelogramo é então E + F (figura a). Logo, chamamos E+F de resultante.

Também é óbvio que F + E deve ser a mesma resultante, de modo que E + F = F+ E (a soma vetorial é, portanto, comutativa).

Uma forma alternativa desta é a lei triangular da adição, que vem a ser de fato, a metade do paralelogramo acima. Aqui ,traçamos primeiro o vetor E.

No extremo de E colocamos o vetor F. Unindo-se o ponto de aplicação de E, e o extremo de F se tem o vetor E + F ,repare no sentido das setas, pois isso é importante. (Figura b)

Segue-se imediatamente, a subtração, pois podemos interpretar E - F como significando E+ (-F) conforme resultado na  figura c, reparando novamente no sentido das setas.

Também se quisermos, podemos estender a adição para mais de 2 vetores e construir um polígono, unindo os vetores sucessivamente por seus extremos. Por exemplo, com vetores A,B,C (que não necessitam estar em um mesmo plano), a soma de A+B+C é representada pelo lado de fechamento do polígono, que é mostrada na figura 1, no esquema abaixo.

A ordem da adição não é importante, e podemos facilmente ver nas figuras 2,3 e 4 que:

$\left( A+B \right)+C=A+\left( B+C \right)=\left( A+C \right)+B$

(combinando as leis associativa e comutativa)

Analogamente, é fácil mostrar que λ (A+B) = λA+ λB e (λ+μ)A= λA+ μA para escalares λ e μ.

Logo, a adição e a subtração vetorial obedecem todas as leis da álgebra normal dos números reais (ou complexos) e podemos tratar as equações vetoriais lineares exatamente da mesma forma que a álgebra dos números reais. Por exemplo, se A+B=C, então A=C-B.

Definimos ainda um vetor nulo 0, como um vetor que não tem orientação, e de comprimento zero, de modo que podemos indicar com a equação acima de exemplo: se A+B=C ,então A+B-C = 0, também : A + 0 = 0 + A = A

Exemplos de soma e subtração

1) Dada $\overrightarrow{U}$+$\overrightarrow{V}$, sendo U = 5 e V= 3 de mesma direção e sentido opostos ache a resultante $\overrightarrow{R}$

Resolução:

$\overrightarrow{R}=\overrightarrow{U}+\overrightarrow{V}\Rightarrow $

$\overrightarrow{R}=5+\left( -3 \right)=2$

Observação: Como o vetor V esta em sentido oposto ao de U. O vetor leva o sinal de menos (-).

2) Dada $\overrightarrow{U}$ e $\overrightarrow{V}$ , sendo U = 5 e V= 3 e o ângulo de 40°, encontre0 a resultante $\overrightarrow{R}$ .

Resolução:

Montando um paralelogramo de $\overrightarrow{R}$ , notamos que o ângulo oposto a $\overrightarrow{R}$ é 180°- 40° = 140°

Logo, aplicando a lei do cosseno

${{R}^{2}}={{U}^{2}}+{{V}^{2}}-2.\left( U \right).\left( V \right).\cos \left( 140 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow {{R}^{2}}=\left( {{5}^{2}} \right)+\left( {{3}^{2}} \right)-2.\left( 5 \right).\left( 3 \right).\cos \left( 140 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow {{R}^{2}}=25+9+23\Rightarrow $

$\Rightarrow R=\sqrt{25+9+23}=\sqrt{57}=7,55$


Observação: Caso você não conheça a lei do cosseno, eu recomendo que dê uma olhada na postagem sobre a lei do cosseno.

3) Dada $\overrightarrow{U}$ e $\overrightarrow{V}$ , sendo U = 5 e V= 3 e o ângulo de 40°, ache a resultante $\overrightarrow{d}$

Resolução

Aplicando a lei do cosseno

${{d}^{2}}={{U}^{2}}-{{V}^{2}}-2.\left( U \right).\left( -V \right).\cos \left( 140 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow {{d}^{2}}={{\left( 5 \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}-2.\left( 5 \right).\left( -3 \right).\cos \left( 140 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow {{d}^{2}}=25+9-23\Rightarrow $

$\Rightarrow d=\sqrt{25+9-23}=\sqrt{11}=3,31$

Referências

• http://global.britannica.com/topic/vector-mathematics (acessado em 05/07/2015 as 15:54)
• Matemática para Engenharia, A. C. Bajpai , L. R. Mustoe , D. Walker ,São Paulo, Brasil, editora: Hemus,1980.
• Notas de Geometria Analítica e Álgebra linear, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011
• Notas de aula de Geometria Analítica e Álgebra linear, Sergio R.Lara, Santos, São Paulo, 2010.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)