Método de Newton-Raphson: Exemplos de Exercícios Resolvidos

POR Pedro Coelho

Publicado: quinta-feira, 16 de janeiro de 2014

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Elaborado por Isaac Newton em 1671 e descrito em 1690 por Joseph Raphson, no livro Analysis aequationum universalis. O método de Newton-Raphson (também conhecido como método de Newton) é uma técnica usada para se determinar raízes de equações não lineares entre um determinado intervalo. Sendo esse método dado pela equação:

${{x}_{n+1}}={{x}_{n}}-\frac{f({{x}_{n}})}{f'({{x}_{n}})}$

Dedução do Método de Newton-Raphson

Sendo dada a equação f(x) = 0 e sabendo que possui $\overline{x}$ como raiz real, vamos exibir um processo iterativo que permitirá construir uma sequencia numérica {xn} convergente para $\overline{x}$.

Supondo que:

• $\overline{x}$ ε I =[a,b]
• f e f’ são contínuas em I
• f’ é não nula em I

Seja x0 um ponto qualquer do intervalo I =[a,b].

Fazendo a seguinte construção geométrica

(1) Considerando o Ponto P do gráfico de f(x), de coordenada (x0, f(x0)).
(2) Traçando por P uma tangente à curva y = f(x).
(3) Determinando x1 na intersecção dessa tangente com o eixo Ox.

Relacionando x1 e x0 através de uma formula.

Obtemos a seguinte formula pela interpretação geométrica da derivada:

$tg~\alpha ={{f}^{'}}\left( x0 \right)~~~~~(1)~$

Por outro lado, a tangente trigonométrica do ângulo α, calculada no triangulo retângulo x1 Px0 , vale:

$tg~\alpha =~\frac{cateto~oposto}{cateto~adjacente}=\frac{f(x0)}{x0-x1}~~~~~~~~(2)$

Igualando equação (1) a (2), tem se:

$\frac{f(x0)}{x0-x1}=f'(x0)$

Isolando x¹, tem se :

$x1=x0-\frac{f(x0)}{f'(x0)}$

A partir de x¹, obtemos x² pelo mesmo processo.

$x2=x1-\frac{f(x1)}{f'(x1)}$

E assim por diante.

Logo, a formula do método de Newton-Raphson pode ser dada por:

${{x}_{n+1}}={{x}_{n}}-\frac{f({{x}_{n}})}{f'({{x}_{n}})}$

Exemplos de Exercícios Resolvidos Usando o Método de Newton-Raphson

Exemplo 1

Dada a equação x²-2 = 0, tem uma raiz real no intervalo I = 1,4 a 1,5.

Dado x0 = 1,4 , calcule uma melhor aproximação para x1, através do método de Newton-Raphson (vide: tabela de derivadas elementares)

$f({{x}_{0}})={{x}_{0}}^{\text{2}}-\text{2}$

$f'({{x}_{0}})=2{{x}_{0}}$

$x1=x0-\frac{f\left( x0 \right)}{f'\left( x0 \right)}=1,4-\frac{{{1,4}^{2}}-2}{2\left( 1,4 \right)}=1,414$

Exemplo 2

Em estequiometria industrial, aparece uma equação do tipo f(x) = 26,04.lnx - x - 51,44 = 0. Use o método de Newton Raphson para achar o valor de x1 ,Sabendo que a raiz é menor que 48.(vide: tabela de derivadas elementares).

${{x}_{0}}=?$

Para encontrar o valor de x0 é necessário encontrar o intervalo onde valor de f(x) muda de sinal.

Para isso, vamos substituir o valor de x na equação até quando aparecer a mudança de sinal de f(x).

x	f(x)
48	26,04.ln(48) – 48 - 51,44 = 1,37
49	26,04.ln(49) – 49 - 51,44 = 0,90
(b) 50	26,04.ln(50) – 50 - 51,44 = 0,43
(a) 51	26,04.ln(51) – 51 - 51,44= -0,06

${{x}_{0}}=\frac{a+b}{2}=\frac{51+50}{2}=50,5$

$f\left( {{x}_{0}} \right)=26,04.\text{ln}({{x}_{0}})-{{x}_{0}}-51,44$

$f\left( {{x}_{0}} \right)=26,04.\ln \left( 50,5 \right)-50,5-51,44=0,188$

$f'({{x}_{0}})=\frac{26,04}{{{x}_{0}}}-1$

$f'({{x}_{0}})=\frac{26,04}{50,5}-1=-0,48$

${{x}_{1}}={{x}_{0}}-\frac{f\left( {{x}_{0}} \right)}{{{f}^{'}}\left( {{x}_{0}} \right)}=50,5-\frac{0,188}{-0,48}=50,9$

Referências

• Calculo Numérico, Neide Bertoldi Franco, Editora: Pearson, Brasil, São Paulo, 2006.
• Elementos de Cálculo Numérico,Dirceu Douglas Salvetti,2º edição, Companhia Editora Nacional, São Paulo,1976.
• http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Raphson.html (Acessado em 16/01/2014 as 18:33).
• Notas de Cálculo Numérico, Profº Joaquim, Unisanta, Santos, São Paulo, 2011.
• Notas de Cálculo Numérico, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico com Pós Graduação em Engenharia de Segurança do Trabalho e também sou Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, eu estou estudando Engenharia Civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)