Lei dos Senos: Exemplos de Exercícios Resolvidos

POR Pedro Coelho

Publicado: sábado, 25 de janeiro de 2014

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Em todo triangulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos e a razão de proporcionalidade é a medida do diâmetro da circunferência ao triangulo. Logo, considerando o triangulo ABC, inscrito na circunferência de raio R, nota-se isso:

A lei dos senos é usada geralmente para triângulos AAL (ângulo, ângulo, lado), nos quais recebe a medida de dois ângulos e o comprimento de um lado que não está entre os ângulos.

Sendo que essa ferramenta também pode ser usada quando se tem um triangulo LLA (algo que a literatura normalmente escreve com o A por ultimo nessa abreviação), em que você recebe 2 lados e um ângulo não formado por esses lados. No entanto, isso é algo que nem sempre funcionara nesses casos, logo aplique ela somente se não tiver outra escolha.

A fórmula da lei dos senos é bem fácil de ser lembrada, pois ela possui três frações bem simples ajustadas como iguais:

Além disso, o seno de qualquer ângulo dividido por seu lado oposto é igual ao seno de qualquer outro lado dividido por seu lado oposto. Por causa disso, algumas literaturas definem a lei dos senos como:

Afinal de contas, isso acaba sendo a mesma coisa. Além disso, você também pode pegar o recíproco de um dos lados da equação sem criar problemas.

Diferença entre a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos

Uma coisa que se deve ter em mente ao usar a lei dos senos é a sua diferença com a lei dos cossenos. Diferentemente da Lei dos Cossenos ao usar a Lei dos Senos, você não consegue dizer a diferença entre ângulos agudos e obtusos, logo você identificará de maneira errada os ângulos obtusos.

Portanto, se você estiver tentando identificar a medida de um ângulo e houver qualquer possibilidade de que o ângulo seja obtuso, você deve calculá-lo usando a lei dos cossenos em vez da lei dos senos.

Exemplos de Exercícios Resolvidos

1) Determine o valor de x no triângulo a seguir:

Resolução:

$\frac{\text{x}}{\text{sen}120}=\frac{90}{\text{sen}45}$

$\text{x}=\frac{90\text{ }\!\!~\!\!\text{ }.(\text{sen}120)}{\text{sen}45}=110,23$

2) Determine as medida de x



Resolução:

Sabe se que a soma de todos os ângulos é igual a 180

$a+b+c=180$

$a+110+50=180$

$a=20$

$Logo:$

$\frac{\text{x}}{\text{sen}50}=\frac{10}{\text{sen}20}$

$\text{x}=\frac{10\text{ }\!\!~\!\!\text{ }.(\text{sen}50)}{\text{sen}20}=22,40$

Referências

• Matemática e Suas Tecnologias, Livro 2, Nobiolini , Krikorian, Grespan, Coleção Objetivo.
• Giovanni J,R;Bonjorno, J,R; Giovanni Jr,J,R;Matemática Fundamental Uma Nova Abordagem, editora FTD, 2002.
• O Guia Completo Para Quem Não É C.D.F. – Pré-cálculo, Kelley, W. Michael, Alta Books Editora, 2014.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)