Equações de Navier-Stokes

POR Pedro Coelho

Publicado: domingo, 3 de novembro de 2013

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Deduzidas independentemente por Claude Louis Marie Henri Navier (1785- 1836) e Sir George.G. Stokes (1819- 1903), as equações de Navier- Stokes é um grupo de equações diferenciais parciais não lineares de segunda ordem, para escoamento incompressível ,que descrevem a movimentação de um fluido, relacionando fatores como velocidade, pressão, temperatura, densidade do fluido em movimento.

Essas equações diferenciais teoricamente podem ser usadas para resolver um determinado problema de fluxo por métodos de cálculo. Algo que na pratica não acontece, pois as equações de Navier-Stokes são muito complexas para serem resolvidas analiticamente.

No passado, estudiosos faziam aproximações e simplificações para esse conjunto de equações até se formar um conjunto de equações resolvíveis analiticamente. Atualmente se usa computadores de alto desempenho para se resolver as equações utilizando uma variedade de técnicas como diferenças finitas, volume finito de elementos e métodos espectrais. Sendo essa área de estudo chamada Computational Fluid Dynamics (CFD), que em português significa fluidodinâmica computacional.

Simulação de movimentação de fluido feita no ansys

Um pouco sobre as equações de Navier-Stokes

As equações de Navier-Stokes consistem nas variações da equação da continuidade pela conservação da massa, das 3 equações de conservação de momento e de uma equação de conservação de energia, pelo tempo nas coordenadas x, y e z.

Sendo x, y, z e o tempo (t) variáveis independentes, e as variáveis dependentes P (pressão), ρ (densidade), T (temperatura) ( que está contida na equação de energia através da energia total Et) e três componentes do vetor de velocidade ; u (componente na direção x) , v (componente na direção y), w (componente na direção z) , em função das quatro variáveis ​​independentes.

Equações de Navier-Stokes

Onde Re é o número de Reynolds que é um parâmetro de similaridade que é a razão entre as forças da inércia do fluxo pelas forças viscosas do fluxo. As variáveis ​​q são os componentes de fluxo de calor e Pr é o número de Prandtl que é um parâmetro de similaridade que é a relação entre as tensões viscosas às tensões térmicas.

As variáveis ​​ τ são componentes de tensão mecânica, que é gerada quando se multiplica dois vetores de uma determinada maneira. O vetor velocidade tem três componentes; a tensão mecânica tem nove componentes. Sendo que cada componente de tensão mecânica é em si uma segunda derivada dos componentes de velocidade.

Os termos no lado esquerdo das equações de momento são chamados de termos de convecção, que é um processo físico onde ocorre a transferência de calor do fluido devido ao movimento ordenado do próprio fluido.

Os termos do lado direito das equações de momento que são multiplicados pelo inverso do número de Reynolds são chamados de termos de difusão, que é um processo físico onde ocorre o transporte de algumas propriedades do fluido através do movimento aleatório das moléculas do fluido. Sendo essa difusão relacionada com a tensão mecânica e viscosa do fluido. A turbulência e a geração da camada limite são o resultado da difusão no fluxo.

Todas as variáveis dependentes aparecem em todas as equações, e para se resolver um problema que envolva as equações de Navier-Stokes é necessário se resolver todas as equações simultaneamente. Além disso, ainda se faz necessário à adição de outras equações para se resolver este sistema.

Pois neste artigo, só foram mostradas cinco equações para seis incógnitas. Necessitando-se ainda a equação de estado que relaciona pressão, temperatura e densidade do gás, e a especificação de todos os termos de tensão de mecânica. Sendo essas tensões mecânicas muitas vezes aproximadas por um modelo de turbulência através da CFD.

Referências

• http://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/airplane/nseqs.html (Acessado em 01/11/13 as 13:45)
• www.ansys.com (Acessado em 02/11/13 as 14:35).
• Mecânica dos Fluidos, Victor L. Streeter, Editora McGraw-Hill do Brasil, Recife, Pernambuco, 1978.
• Mecânica dos Fluido 2 º Edição Dayr Schiozer , Editora LTC, São Paulo, 1996.
• Mecânica dos Fluidos 6 º edição Frank M White , Editora Aritmed.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)