Lei de Stokes - Estudo da Viscosidade na Mecânica dos Fluidos

POR Pedro Coelho

Publicado: domingo, 27 de outubro de 2013

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Elaborada por George G. Stokes em 1851, a Lei de Stokes relaciona o tamanho de uma esfera e a velocidade de queda dela. Existem três forças que atuam sobre a esfera: uma força gravitacional descendente (Fg), uma força de flutuação ascendente (Fb) e uma força de arraste de sentido para cima (Fd). A força gravitacional é uma função “g” (aceleração da gravidade) e a massa da partícula, portanto, diâmetro e densidade da esfera. A força de flutuação é uma função da massa de fluido deslocada pela esfera e assim, o diâmetro e a densidade do fluido. E a força de arraste é uma função do tamanho da esfera e da viscosidade e assim, do diâmetro e da viscosidade do fluido.

Esquema de aplicação das forças

A Lei de Stokes é geralmente aplicada para o escoamento de um fluido viscoso incompressível em torno de uma esfera para número de Reynolds menor que 1, em que a influência da força viscosa (chamada de F_arraste) sobre o movimento da esfera vale:

${{F}_{arraste}}=6\pi r\mu {{v}_{esf}}$

Sendo r o raio da esfera, μ a viscosidade dinâmica e v_esf a velocidade do escoamento da esfera ao longo do fluido. Pode-se encontrar a velocidade de uma esfera caindo em um fluido que está em repouso somando-se o empuxo à força de arraste e o igualando a seu peso:

$\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}{{\gamma }_{fluido}}+6\pi r{{v}_{esf}}=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}{{\gamma }_{esfera}}$

Em que: γ_fluido é o peso específico do fluido e γ_esf o peso específico da esfera. Resolvendo para descobrir o valor “μ”, chega-se à clássica expressão da Lei de Stokes:

Sendo:

• μ = viscosidade dinâmica
• v_esf = velocidade da esfera
• γ_fluido = peso específico do fluido
• γ_esf = peso específico da esfera
• r = raio da esfera

Essa expressão é utilizada para a obtenção experimental do valor da viscosidade dinâmica (μ) em laboratório, sendo que o experimento deve ser sempre feito com uma esfera que apresenta densidade maior do que a do fluido.

Viscosímetro de Stokes

Granulometria do solo e a Lei de Stokes

Na granulometria (também chamada de Análise Granulométrica) dos solos, diferentemente da mecânica dos fluidos que nós vemos na engenharia química, a fórmula da equação de Stokes (também chamada de Teorema de Stokes) é usada para calcular a velocidade de sedimentação (também chamada de velocidade limite em algumas literaturas) discreta de partículas, pois nesse tipo de sedimentação, os sedimentos apresentam uma velocidade uniforme e trajetória retilínea, não havendo aglomeração e nem interação entre as partículas durante o processo, ou seja, as partículas sólidas são mantidas isoladas durante a sedimentação, logo, não há alteração de densidade da partícula durante o processo e a velocidade da partícula pode ser calculada pela seguinte fórmula:

Sendo

• v_s = velocidade de sedimentação da partícula, m/s
• g = aceleração da gravidade, 9.81 m/s²
• ρ_p = densidade da partícula, kg/m³
• ρ_w = densidade do fluido, kg/m³
• d = diâmetro da partícula, m
• μ =viscosidade dinâmica, kg/m∙s

Lembrando que antes da sedimentação é bom analisar a textura do solo, para poder fazer uma boa peneiração a fim de separar as partículas que se pretende analisar.

Exercício resolvido aplicando a Fórmula de Stokes

1) Utilizando a Lei de Stokes, determine a viscosidade dinâmica:

Dados: v_esf = 0,041m/s, ρ_óleo= 616 kg/m³, ρ_esfera=658 kg/m³, r = 0,0275 m, g= 9,81 m/s²

Cálculo do “gama” do óleo:

$\gamma =\rho .g\Rightarrow {{\gamma }_{\acute{o}leo}}=616\frac{Kg}{{{m}^{3}}}.9,81\frac{m}{{{s}^{2}}}\Rightarrow {{\gamma }_{\acute{o}leo}}=6042,96\frac{Kg}{{{m}^{2}}{{s}^{2}}}$

Cálculo do “gama” da esfera:

$\gamma =\rho .g\Rightarrow {{\gamma }_{esfera}}=658\frac{Kg}{{{m}^{3}}}.9,81\frac{m}{{{s}^{2}}}\Rightarrow {{\gamma }_{esfera}}=6454,98\frac{Kg}{{{m}^{2}}{{s}^{2}}}$

Cálculo da viscosidade:

$\mu =\frac{2{{r}^{2}}}{9{{v}_{esf}}}({{\gamma }_{esf}}-{{\gamma }_{fluido}})\Rightarrow \frac{2{{\left( 0,0275m \right)}^{2}}}{9\left( 0,041m/s \right)}(6454,98-6042,96)\frac{Kg}{{{m}^{2}}{{s}^{2}}}=\frac{1,69Kg}{m.s}$

Referências

• http://www.ifi.unicamp.br/leb/f229ELZA08/Exp10-Viscosidade-Lei%20de%20Stokes-R1.pdf (Acessado em 27/10/2013 as 15:26)
• http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S0370-44672001000200014&script=sci_arttext (Acessado em 27/10/2013 as 15:32)
• Mecânica dos Fluidos, Victor L. Streeter, Editora McGraw-Hill do Brasil, Recife, Pernambuco, 1978.
• Processos e técnicas para o controle ambiental de efluentes líquidos: Volume 5 da Série “Escola Piloto de Engenharia Química”, MARCIA DEZOTTI, Editora E-papers, 2008
• http://www.environment.nsw.gov.au/resources/soils/testmethods/psa.pdf (data de acesso: 04/04/2017 as 15:45)
• techalive.mtu.edu/ (data de acesso: 04/04/2017 as 16:35)

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)