Séries de Taylor e MacLaurin: Exercícios Resolvidos

POR Pedro Coelho

Publicado: domingo, 29 de dezembro de 2013

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Desenvolvida pelo matemático escocês Colin Maclaurin (1698-1746), a série (ou polinômio) de MacLaurin é um caso particular das séries de Taylor, quando a dada serie de Taylor:

$f(x)=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}}).(x-{{x}_{0}})+\frac{{f}''({{x}_{0}}).{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}}{2!}+\frac{{f}'''({{x}_{0}}).{{(x-{{x}_{0}})}^{3}}}{3!}$

$+...+\frac{{{f}^{n}}({{x}_{0}}).{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}}{n!}$

Tem x0 =0 , se obtém a série de MacLaurin

$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0).{{x}^{2}}}{2!}+\frac{f'''(0).{{x}^{3}}}{3!}+...+\frac{{{f}^{n}}(0).{{x}^{n}}}{n!}$

A série de MacLaurin é um polinômio, que tem a condição de existência das derivadas sucessivas :f ’(0), f ’’(0), f ’’’(0), fⁿ(0), ...., onde apresenta um processo de cálculo bem simplificado, visando a obtenção de soluções aproximadas às funções.

Este polinômio é condicionado a valores próximos de zero, ou seja, quanto mais distante x0 estiver de zero, piores serão as soluções aproximadas das funções, com isso, necessitando-se um número maior de derivadas sucessivas, a fim de se obter um valor mais aproximado.

Retrato de Colin MacLaurin

Exercícios Resolvidos de Aplicação da Série de MacLaurin

$a)f(x)={{e}^{x}}$

Como a deriva de e^xé ele mesmo, logo f (0), f ’(0),f ’’(0)...,fⁿ(0) = 1

$f(x)={{e}^{x}}=f(0)+{f}'(0)x+\frac{{f}''(0).{{x}^{2}}}{2!}+\frac{{f}'''(0).{{x}^{3}}}{3!}$

$f(x)={{e}^{x}}=1+1.x+\frac{1.{{x}^{2}}}{2!}+\frac{1.{{x}^{3}}}{3!}$

Logo para x = 1 ,tem-se

$f(x)={{e}^{x}}=1+1.x+\frac{{{1}^{2}}}{2!}+\frac{{{1}^{3}}}{3!}\cong 2,67$

Observação: fazendo até a quarta parcela da serie se acha o valor exato de e, que é aproximadamente 2,72

$b)sen(x)$

f(0)= sen(0)→f (0) =sen(0) =0
f’(0)= cos(0)→f ’(0) =cos(0) =1
f’’(0)= -sen 0)→f ’’(0) =-sen(0) =0
f ’’’(0)= -cos 0)→f ’’(0) =-cos(0) =-1
f ’’’’(0)= sen 0)→f ’’(0) = sen(0) =0
f ’’’’’(0)= cos 0)→f ’’(0) -cos(0) =1

$f(x)=sen(x)=f(0)+{f}'(0)x+\frac{{f}''(0).{{x}^{2}}}{2!}+\frac{{f}'''(0).{{x}^{3}}}{3!}+\frac{{{f}'''}'(0).{{x}^{4}}}{4!}+\frac{{{f}'''}''(0).{{x}^{5}}}{5!}$

$f(x)=sen(x)=0+1x+\frac{0.{{x}^{2}}}{2!}+\frac{-1.{{x}^{3}}}{3!}+\frac{0.{{x}^{4}}}{4!}+\frac{1.{{x}^{5}}}{5!}$

$f(x)=sen(x)=0+x-\frac{{{x}^{3}}}{3!}+\frac{{{x}^{5}}}{5!}$

Adotando x = 0,9 radiano

$sen(0,9)=0,9-\frac{{{0,9}^{3}}}{3!}+\frac{{{0,9}^{5}}}{5!}$

$sen(0,9)=0,9-\frac{{{0,9}^{3}}}{6}+\frac{{{0,9}^{5}}}{120}=0,783$

Exemplos de aplicação Quando x está em grau

$1)sen(30{}^\text{o})$

Lembrando que a conversão de graus para radiano é

180º----π

30º----x

Logo x =0,524

$sen(0,524)=0,524-\frac{{{0,524}^{3}}}{6}+\frac{{{0,524}^{5}}}{120}=0,500$

$2)sen(129{}^\text{o})$

Quando o ângulo é maior que 90 °, se faz necessário passar para o primeiro quadrante

$sen(129{}^\text{o})=sen(180{}^\text{o}-129{}^\text{o})=sen(51{}^\circ )$

Fazendo a conversão de graus para radiano é

180º----π

51º----x

Logo x = 0,890

$sen(0,890)=0,890-\frac{{{0,890}^{3}}}{6}+\frac{{{0,890}^{5}}}{120}=0,777$

$3)sen(220{}^\text{o})$

Passando para o primeiro quadrante

$sen(220{}^\text{o})=sen(180{}^\text{o}-220{}^\text{o})=-sen(40{}^\circ )$

Fazendo a conversão de graus para radiano é

180º----π

40º----x

Logo x =0,698

$-sen(0,698)=-(0,698-\frac{{{0,698}^{3}}}{6}+\frac{{{0,698}^{5}}}{120})=-0,642$

$4)sen(340{}^\text{o})$

Passando para o primeiro quadrante

$sen(340{}^\text{o})=sen(180{}^\text{o}-340{}^\text{o})=-sen(160{}^\text{o})$

$-sen(160{}^\text{o})=-sen(180{}^\text{o}-160{}^\text{o})=-sen(20{}^\text{o})$

Fazendo a conversão de graus para radiano é

180º----π

20º----x

Logo x =0,349

$sen(0,349)=0,349-\frac{{{0,349}^{3}}}{6}+\frac{{{0,349}^{5}}}{120}=0,341$

$5)sen(2400{}^\text{o})$

Passando para o primeiro quadrante

Lembrando que 1 volta =360º

$\frac{2400{}^\circ }{360{}^\text{o}}=6,67voltas$

6 voltas =2160º

$sen(2400{}^\text{o})=sen(2400{}^\text{o}-2160{}^\text{o})=sen(240{}^\text{o})$

$sen(240{}^\text{o})=sen(180{}^\text{o}-240{}^\text{o})=-sen(60{}^\text{o})$


Fazendo a conversão de graus para radiano é

180º----π

60º----x

Logo x =1,047

$-sen(1,047)=-(1,047-\frac{{{1,047}^{3}}}{6}+\frac{{{1,047}^{5}}}{120})=-0,866$

$6)\cos (x)$

f(0)= cos(0)→f (0) =cos(0) =1
f’(0)= sen(0)→f ’(0) =sen(0) =0
f’’(0)= -cos (0)→f ’’(0) =-cos(0) =-1
f ’’’(0)= -sen (0)→f ’’(0) =-sen(0) =0
f ’’’’(0)= cos (0)→f ’’(0) = cos(0) =1
f ’’’’’(0)=sen (0)→f ’’(0) sen(0) =0

$f(x)=\cos (x)=f(0)+{f}'(0)x+\frac{{f}''(0).{{x}^{2}}}{2!}+\frac{{f}'''(0).{{x}^{3}}}{3!}+\frac{{{f}'''}'(0).{{x}^{4}}}{4!}$

$+\frac{{{f}'''}''(0).{{x}^{5}}}{5!}$

$f(x)=\cos (x)=1+0x-\frac{1.{{x}^{2}}}{2!}+\frac{0{{x}^{3}}}{3!}+\frac{1{{x}^{4}}}{4!}+\frac{0{{x}^{5}}}{5!}$

$f(x)=\cos (x)=1-\frac{1.{{x}^{2}}}{2!}+\frac{1{{x}^{4}}}{4!}$

Adotando x = 0,9 radiano

$f(x)=\cos (x)=1-\frac{1.({{0,9}^{2}})}{2!}+\frac{1({{0,9}^{4}})}{4!}$

$f(x)=\cos (x)=1-\frac{1.({{0,9}^{2}})}{2}+\frac{1({{0,9}^{4}})}{24}=0,621$

Exemplos de quando o radiano for maior que π (3,14)

$1)\cos (4)$

Passando para o primeiro quadrante

$\cos (4)=sen(\pi -4)=-\cos (0,858)$

$-\cos (0,858)=-(1-\frac{1.({{0,858}^{2}})}{2}+\frac{1({{0,858}^{4}})}{24})=-0,654$

$2)\cos (100)$

Passando para o primeiro quadrante

Lembrando que 1 volta =2π

$\frac{100}{2\pi }=15,915voltas$

15 voltas =94,25

$\cos (100)=sen(100-94,25)=\cos (5,75)$

$\cos (5,75)=sen(\pi -5,75)=-\cos (2,61)$

$-\cos (2,61)=-(1-\frac{1.({{2,61}^{2}})}{2}+\frac{1({{2,61}^{4}})}{24})=0,862$

Referências

• Cálculo Numérico para Universitários - Zamboni, Lincoln Cesar; Monezzi Jr, Orlando
• Matemática para engenharia – A.C.Bajpai, L.R.Mustoe , D.walker- São Paulo- Brasil-1974
• http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Maclaurin.html( Acessado em 22/12/2013 as 13:29)

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)